Примеры решения задач

Пример 1.По двум длинным прямолинейным и параллельным проводам, расстояние между которымиd= 4 см, в противоположных направлениях текут токиI₁= 0,3A,I₂= 0,5A. Найти магнитную индукцию в точкеА, которая находится на расстоянииr₁= 2 см от первого провода на продолжении линии, соединяющей провода (рис. 1).

Ре ш е н и е. На рис. 1 провода расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводов. Условимся, что токI₁, течёт к нам (знак), а токI₂– от нас (знак). Общая индукцияВв точкеАравна векторной (геометрической) сумме индукции и полей, создаваемых каждым током в отдельности, т.е.

= + . (1)

Для того чтобы найти направление векторов и

, проведём через точкуАсиловые линии магнитныхРис. 1

полей, созданных точками I₁иI₂.

Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрический окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого по направлению тока (правило буравчика). Поэтому силовая линия магнитного поля тока I₁, проходящая через точкуА, представляет собой окружность радиусомI₁A, а силовая линия магнитного поля токаI₂, проходящая через эту же точку, – окружность радиусомI₂A(на рис. 6 показана только часть этой окружности).

По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного поля тока I₁направлена против часовой стрелки, а токаI₂– по часовой стрелке.

Теперь легко найти направление векторов и в точке А: каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке. Так как векторы и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить алгебраическим равенством

В=В₁–В₂. (2)

Индукция магнитного поля тока I, текущего по прямому бесконечному длинному проводу, вычисляется по формуле

В= , (3)

где ₀– магнитная постоянная;– магнитная проницаемость среды в которой провод расположен;r– расстояние от провода до точки, в которой определяется индукция.

Подставив значения В₁иВ₂в равенство (2), получим

В=

или

В= . (4)

Выразим числовые значения в СИ и подставим их в (4):

₀= 4·10^–7 Н/А²= 4·10^–7 Гн/м;= 1 (провода расположены в воздухе); I₁ = 0,3 А;I₂= 0,5A;r₁= 0,02 м;r₂= 0,06 м;

В= Тл = 1,33·10^–6 Тл = 1,33 мкТл.

Пример 2.Из проволоки диаметромd= 0,1 мм и сопротивлениемR= 25 Ом намотан соленоид на картонном цилиндре (витки прилегают друг к другу). Определить индукцию магнитного поля на оси соленоида, если напряжение на концах обмоткиU= 2 В.

Р е ш е н и е. Индукция магнитного поля на оси соленоида вычисляется по формуле

В = ₀I n, (1)

где п– число витков на единицу длины соленоида;I– сила тока, текущего по обмотке соленоида.

Число витков пполучим, разделив единицу длины на диаметр проволоки

п= .

Силу тока, текущего по обмотке, найдём по закону Ома для участка цепи

I= .

Подставим значения пиIв равенство (1)

В=₀. (2)

Выпишем числовые значения величин в СИ и подставим их в расчётную формулу (2): ₀= 4·10^–7 Гн/м;= 1;d= 0,1 мм = 10^–4 м;U= 2B;R= 25 Ом;

В= 4·10^–7· 1Тл = 1,01·10^–3 Тл = 1,01 мТл.

Пример 3.Прямой провод длинойl= 10 см, по которому течёт токI= 0,5A, помещён в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Найти индукцию магнитного поля, если оно действует на прямой провод с силойF= 2,6 мН.

Р е ш е н и е. Сила F, с которой однородное магнитное поле действует на прямой провод с током, вычисляется по формуле закона Ампера

F = IBl sin , (1)

где I– сила тока, текущего по проводнику;l– длина проводника;В– индукция магнитного поля, в которое проводник помещён;– угол между направлением тока и направлением линий индукции.

Из формулы (1) найдём

В= . (2)

Выпишем числовые значения единиц в СИ и подставим их в расчётную формулу (2): F= 2,6 мН = 2,6·10^–3 Н;I= 0,5A;l= 10 см = 0,1 м;= 90;sin = 1;

В= Тл = 0,052 Тл = 52 мТл.

Пример 4.Протон, пройдя ускоряющую разность потенциаловU = 400B, влетел в однородное магнитное поле с индукциейВ= 0,2 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус окружности.

Р е ш е н и е. На заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила F_л, называется силой Лоренца. Она вычисляется в СИ по формуле

F_л=еВsin ,

где е– заряд частиц;– её скорость;В– индукция магнитного поля, в котором движется частица;– угол между направлением векторов скорости и индукции. Поскольку по условию задачи протон движется по замкнутой траектории (окружности), можно заключить, что составляющая вектора скорости в направлении вектораВравна нулю, т.е.= 90.

Направление силы Лоренца подчиняется, как известно, правилу левой руки. Угол между направлениями и всегда составляет 90. Следовательно, сила Лоренца является центростремительной силой, т.е.F_л=F_{ц с}или

еВsin = ,

где т– масса протона;R– радиус окружности, по которой движется протон.

Отсюда

R= . (1)

Протон получил скорость, пройдя ускоряющую разность потенциалов. По закону сохранения энергии работа, совершённая полем при перемещении протона, равна кинетической энергии, приобретённой протоном, т.е.

А=Т. (2)

Работа сил электрического поля при перемещении протона определяется по формуле

А=еU. (3)

Кинетическая энергия протона

Т= . (4)

Подставив выражение Апо (3) и выражениеТпо (4) в (2), получим

eU= ,

откуда = . (5)

Подставляя выражение для в (1), получим

R= . (6)

Проверим единицы величин правой и левой частей расчётной формулы, чтобы убедиться, что эти единицы совпадают. Для этого подставим в формулу вместо величин их единицы в Международной системе:

м = = м.

Выпишем числовые значения в СИ и подставим их в (6):

U = 400 В; е= 1,60·10^–19 Кл (см. табл. 1);т= 1,67·10^–27 кг (см. табл. 1);В= 0,2 Тл;

 = /2,sin = 1;

R= м = 1,45·10^–2 м = 1,45 см.

Пример 5.Ток, текущий в рамке, содержащейNвитков, создаёт магнитное поле. В центре рамки индукцияВ= 0,126 Тл. Найти магнитный момент рамки, если её радиусR= 10 см.

Р е ш е н и е. Магнитный момент рамки с током

р_м = I S N, (1)

где I– сила тока в рамке;S– площадь, охватываемая витком (S=R²);N– число витков в рамке.

Индукция магнитного поля в центре кругового тока (многовиткового)

В= ,

откуда I= .

Подставляя в (1) выражения для IиS, получим

р_м= . (2)

Выпишем числовые значения величин в СИ и подставим их в расчётную формулу (2): В= 0,126 Тл;R= 0,1 м;₀= 4·10^–7 Гн/м;= 1;

р_м= А·м²= 6,3·10² А·м²= 630 А·м².

Пример 6.Плоская рамка площадьюS= 100 см², содержащаяN= 20 витков тонкого провода, вращается в однородном магнитном поле с индукциейВ= 100 мТл. Амплитуда э.д.с. индукцииЕ_max= 10 В. Определить частоту вращения рамки.

Р е ш е н и е. Для определения частоты вращения рамки используем понятие угловой скорости вращения:

 = = 2п,

где Т– период вращения;п– частота вращения.

Отсюда п= . (1)

Угловую скорость вращения найдём из соотношения

Е = NBS sin t, (2)

где Е– мгновенное значение э.д.с. индукции.

Амплитудой Еявляется значениеЕ_max, соответствующее значениюsint= 1. Из соотношения (2) имеем

 = . (3)

Подставив выражение по (3) в (1), получаем

п= .

Выразим значения всех входящих в формулу, в СИ: Е_max= 10 В;N= 20;В= 100 мТл = 0,1 Тл;S= 100 см²= 10^–2м².

п= = 79,5 с^–1.

Пример 7.На немагнитный каркас длинойl= 50 см и площадью сеченияS= 3 см²намотан в один слой провод диаметромd= 0,4 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Найти индуктивность получившегося соленоида и магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида при токеI= 1 А.

Р е ш е н и е. 1. Индуктивность соленоида вычисляется по формуле

L=₀n²V, (1)

где п– число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;V– объём соленоида.

Число витков пполучим, разделив единицу длины на диаметр проводаd:

п= . (2)

Объём соленоида V=Sl, гдеS– площадь поперечного сечения соленоида;l– длина соленоида.

Подставим выражения для пиVв равенство (1):

L=₀. (3)

Выпишем числовые значения в СИ и подставим их в расчётную формулу (3): l= 50 см = 0,5 м;S= 3 см²= 3·10^–4 м²;d= 0,4 мм = 4·10^–4 м;₀= 4·10^–7 Гн/м;= 1;

L= 4·10^–7 ·1Гн = 1,17·10^–3 Гн = 1,17 мГн.

2. При наличии тока в соленоиде любое его поперечное сечение пронизывает магнитный поток

Ф_м=BS, (4)

где В– магнитная индукция в соленоиде.

Магнитная индукция соленоида определяется по формуле

В=₀I n. (5)

Подставив выражения пиВпо (2) и (5) в (4), получим расчётную формулу

Ф_м=₀.

Выпишем вычисления, подставив в расчётную формулу значения величин I,Sиdв СИ:

Ф_м= 4·10^–7·1Вб = 9,42·10^–7 Вб = 0,942 мкВб.

Пример 8.Колебательный контур состоит из плоского воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью поS= 100 см²каждая и катушки с индуктивностьюL= 10^–5 Гн. Период колебаний в контуреТ= 10^–7 с. Определить расстояние между пластинами конденсатора.

Р е ш е н и е. Искомое расстояние может быть найдено из формулы ёмкости плоского конденсатора

С= .

где ₀– электрическая постоянная;– диэлектрическая проницаемость среды между пластинами конденсатора;S– площадь пластины конденсатора;d– расстояние между пластинами.

Отсюда

d= . (1)

Ёмкость Снайдём из формулы Томсона, определяющий период колебанийТв колебательном контуре,Т= 2, гдеL– индуктивность катушки.

Отсюда С= .

Подставив это выражение Св (1), получим

d= . (2)

Выразим величины, входящие в это равенство в СИ и подставим их в расчётную формулу (2): L= 10^–5 Гн;S= 100 см²= 10^–2 м²;Т= 10^–7 с;₀= 8,85·10^–12 Ф/м;= 1 (для воздуха);

d= м = 3,49·10^–3 м = 3,49 мм.

Пример 9.Длина железного сердечника тороида 40 см, длина воздушного зазора 1 см. Число витковN= 500. При какой величине тока индукция магнитного поля в зазоре будет равна 1,4 Тл.

Р е ш е н и е. По закону полного тока циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур (рис. 2).

Потоком рассеяния пренебрегаем, магнитный поток в сердечнике и в зазоре будет одинаковым, а также одинаковой будет индукция магнитного поля: В₁=В₂= 1,4 Тл.

Напряженность магнитного поля в зазоре:

Величины в единицах СИ: магнитная проницаемостьμ₂= 1 (для воздуха), магнитная постояннаяμ₀= 4π ∙ 10^-7Гн/м.

Поставляем числовые значения

Рис. 2.

Напряженность поля в железном сердечнике находим по графику зависимости BотH(см. приложение). ДляВ= 1,4 Тл напряженность равна Н=0,8∙10³А/м = 800 А/м.

Тогда (А∙витков)

Величина тока равна:

(А)