- •Высшая математика математический анализ функций одной переменной
- •0501 „Экономика и предпринимательство”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 5 от 13 января 2009 г.);
- •Содержание
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Пределы и непрерывность функции
- •1.1. Предел числовой последовательности и функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции в точке.
- •1.2. Основные теоремы о пределах
- •1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.4. Примеры вычисление пределов
- •1.5. Непрерывность функции
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2.1. Производная функции. Геометрический смысл производной функции
- •2.2. Общие правила дифференцирования функции.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Сводная таблица формул дифференцирования
- •Производная обратной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Дифференцирование неявной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Применение дифференциального исчисления функции одной переменной
- •2.4.1. Применение производной при вычислении пределов.
- •Правило Лопиталя
- •2.4.2. Возрастание и убывание функции на интервале
- •2.4.3. Экстремумы функции
- •2.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Значений функции на отрезке:
- •2.4.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:
- •2.4.6. Асимптоты графика функции
- •2.4.7. Полное исследование функции и построения ее графика.
- •2.5. Вопросы для самоконтроля
- •3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •3.1. Неопределенный интеграл
- •3.1.1 Свойства неопределённого интеграла.
- •3.1.2. Таблица неопределенных интегралов
- •3.1.3. Основные методы интегрирования
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование простейших дробей
- •3.1.5. Интегрирование тригонометрических функций.
- •, , .
- •3.1.6. Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
- •3.1.7. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.1.8. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •3.1.9. Вопросы для самоконтроля
- •3.2. Определенный интеграл
- •3.2.1. Интегральная сумма и определенный интеграл
- •3.2.2. Свойства определенного интеграла
- •3.2.3. Вычисление определенного интеграла
- •Метод замены переменной в определенном интеграле
- •Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3.2.4. Несобственные интегралы
- •3.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •Вычисление объема тела вращения
- •Вычисление длины дуги кривой
- •3.2.6. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания для расчетно-графической работы
- •4) ; 5).
- •1511 Группа
Логарифмическое дифференцирование
При вычислении производной от логарифма произведения, частного, степени или корня, для упрощения нахождения производной проводят предварительное преобразование (см. Пример 10(и)).
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать (по умолчанию имеется в виду натуральный логарифм). Затем найти производную от этого логарифма и по ней отыскать производную от заданной функции. Такой прием называется логарифмическим дифференцированием.
Метод логарифмического дифференцирования позволяет легко найти производную показательно-степенной функции вида
,
где и – дифференцируемые функции аргумента .
Пример 14.
Найти производную функции .
Решение.
Прологарифмируем обе части функции и преобразуем выражение:
.
Теперь дифференцируем уравнение, как неявно заданную функцию:
;
;
;
;
Так как , то окончательно получаем:
.
Производные высших порядков
Производной 2-го порядка от функции называется производная от её первой производной, т.е.
.
Аналогично, производной 3-го порядка от функции называется производная от её второй производной, т.е.
.
Таким образом, производной -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка, т.е.
.
Следовательно, для нахождения производной -го порядка необходимо последовательно найти производную первого, затем второго, затем третьего и т.д. до-го порядка.
Пример 15.
Найти третью производную функции .
Решение.
;
;
.
2.3. Дифференциал функции
Из определения производной и свойств пределов следует, что если
то ,
где – бесконечно малая величина ().
Выражаем и получаем, что:. Так как, то в дальнейшем ее можно не учитывать и мы получим:
Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной , называется дифференциалом функции и обозначаетсяили:
.
Т. к. дифференциал , то дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента:
.
Таким образом, для нахождения дифференциала функции, необходимо найти производную и умножить её на дифференциал независимой переменной .
Пример 16.
Найти дифференциал функции .
Решение.
.
2.4. Применение дифференциального исчисления функции одной переменной
2.4.1. Применение производной при вычислении пределов.
Правило Лопиталя
При вычислении предела функции подстановка предельного значения аргумента часто приводит к неопределенностям вида ,, от которых невозможно избавиться при помощи ранее изученных приемов. Теорема, известная под названиемправило Лопиталя, является одним из основных инструментов для раскрытия таких неопределенностей.
Правило Лопиталя: Пусть в некоторой окрестности точки функцииидифференцируемы и. Еслииодновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими функциями при , то
,
при условии, что предел отношения производных существует.
Эта теорема справедлива также и для односторонних пределов, и в случае, когда .
В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
Неопределенности ,,,,, сводятся к неопределенностям вида путем алгебраических преобразований.
Пример 17.
Вычислить с помощью правила Лопиталя пределы:
а); б); в).
Решение.
а)
.
б)
.
в) .
Обозначим искомый предел через и прологарифмируем выражение:
;
или .
Тогда:
.
Так как , то искомый предел.