- •Высшая математика математический анализ функций одной переменной
- •0501 „Экономика и предпринимательство”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 5 от 13 января 2009 г.);
- •Содержание
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Пределы и непрерывность функции
- •1.1. Предел числовой последовательности и функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции в точке.
- •1.2. Основные теоремы о пределах
- •1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.4. Примеры вычисление пределов
- •1.5. Непрерывность функции
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2.1. Производная функции. Геометрический смысл производной функции
- •2.2. Общие правила дифференцирования функции.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Сводная таблица формул дифференцирования
- •Производная обратной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Дифференцирование неявной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Применение дифференциального исчисления функции одной переменной
- •2.4.1. Применение производной при вычислении пределов.
- •Правило Лопиталя
- •2.4.2. Возрастание и убывание функции на интервале
- •2.4.3. Экстремумы функции
- •2.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Значений функции на отрезке:
- •2.4.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:
- •2.4.6. Асимптоты графика функции
- •2.4.7. Полное исследование функции и построения ее графика.
- •2.5. Вопросы для самоконтроля
- •3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •3.1. Неопределенный интеграл
- •3.1.1 Свойства неопределённого интеграла.
- •3.1.2. Таблица неопределенных интегралов
- •3.1.3. Основные методы интегрирования
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование простейших дробей
- •3.1.5. Интегрирование тригонометрических функций.
- •, , .
- •3.1.6. Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
- •3.1.7. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.1.8. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •3.1.9. Вопросы для самоконтроля
- •3.2. Определенный интеграл
- •3.2.1. Интегральная сумма и определенный интеграл
- •3.2.2. Свойства определенного интеграла
- •3.2.3. Вычисление определенного интеграла
- •Метод замены переменной в определенном интеграле
- •Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3.2.4. Несобственные интегралы
- •3.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •Вычисление объема тела вращения
- •Вычисление длины дуги кривой
- •3.2.6. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания для расчетно-графической работы
- •4) ; 5).
- •1511 Группа
3.1.2. Таблица неопределенных интегралов
Т.к. интегрирование есть действие обратное дифференцированию, то можно получить таблицу основных интегралов, применяя таблицу производных и свойства неопределенного интеграла.
1. . 11..
2. . 12..
3. . 13..
4. . 14..
5. . 15.,.
6. . 16.,.
7. . 17.,.
8. . 18.,.
9. . 19..
10. . 20..
Если и– произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то
.
Это свойство (его называют инвариантностью формул интегрирования) означает, что та или иная формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, переменная интегрирования – есть независимая переменная или произвольная функция от нее.
3.1.3. Основные методы интегрирования
Не существует универсального метода нахождения неопределенных интегралов. К основным методам интегрирования относят следующие методы: непосредственное интегрирование, метод замены переменной (метод подстановки) и метод интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования применяется, когда неопределенный интеграл можно найти непосредственно с помощью таблицы интегралов и свойств неопределенных интегралов. В некоторых случаях подынтегральную функцию необходимо преобразовать, чтобы свести заданный интеграл к табличному интегралу.
Замечание: При нахождении алгебраической суммы интегралов обычно пишут одну произвольную постоянную в конце.
Пример 23.
Найти интегралы: а); б);
в); г).
Решение.
а)
.
б)
в)
=.
г)
.
Метод замены переменной
Метод замены переменной (метод подстановки) заключается в введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки) . При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который должен является табличным или к нему сводящимся.
Метод замены переменной описывается следующей формулой:
.
Замечание: не существует общего правила выбора подстановок. Умение правильно подобрать подстановку определяется опытом или видом подынтегральной функции.
Часто формулу замены переменной применяют также и в обратном порядке: применяют подстановку , т.е. часть подынтегральной функции обозначается через новую переменную. Затем из замены выражают переменную, находят дифференциали подставляют все в исходное подынтегральное выражение. После нахождения интеграла от новой переменнойвозвращаются к старой переменной. Для этого подхода справедлива формула:
.
Замечание: если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее дифференциал с точностью до коэффициента, то выражать переменную из подстановкинеобязательно.
Пример 24.
Найти интегралы: а) ; б); в).
Решение.
а)
.
б)
.
в) .
Замечание: рассмотрим случай, когда существует возможность замены линейного выражения , приводящей к табличному интегралу (см. Пример 24а); так называемую линейную подстановку.
Если известна первообразная для некоторой функции:
,
то ,
т.е. .
Используя данную замечание, можно расширить возможность применения табличных интегралов, например:
;
;
;
.
Пример 25.
Найти интегралы, используя замечание о линейной подстановке:
а) ; б); в); г).
Решение.
а) ;
б) ;
в) ;
г)