3.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла

Основными геометрическими приложениями определенного интеграла являются: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел вращения вокруг осей координат и вычисление длины дуги плоской кривой.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах

Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной на отрезке кривой , осью , а также вертикальными прямыми и (площадь криволинейной трапеции – рис. 12), определяется по формуле:

.

Если график функции расположен ниже оси (Рис. 13), то площадь фигуры определяется по формуле:

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми и, при условии, что (Рис. 14), определяется по формуле:

.

Замечание: Если плоская фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными оси , ее следует разбить на части таким образом, чтобы можно было применять уже известные формулы.

Пример 43.

Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) ; б).

Решение.

а)

Фигура ограничена осью () и параболой на отрезке .

Построим параболу. Найдем точки пересечения параболы с осью . Для этого приравняем :

; ;;.

Найдем координаты вершины параболы:

,

.

Парабола имеет вершину в точке с координатами и ветви ее направлены вверх.

Фигура, ограниченная заданными линиями изображена на рис. 15.

Площадь искомой фигуры равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:

.

Найдем искомую площадь:

(ед²)

(ед²)

Тогда площадь заданной плоской фигуры равна:

(ед.²).

б)

Фигура ограничена параболой и прямой .

Построим данные параболу и прямую (рис. 16).

Найдем границы интегрирования, т.е. точки пересечения прямой и параболы. Для этого решим систему, составленную из уравнений этих линий:

; ;

;

;

;

.

Следовательно, парабола и прямая пересекаются в точках с абсциссами и.

Площадь фигуры определяем по формуле:

,

где линией является прямая(ограничивает фигуру сверху), алинией является парабола (ограничивает фигуру снизу).

(ед.²).

Вычисление объема тела вращения

Телом вращения вокруг оси Ох называется фигура, полученная от вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной на отрезке кривой и прямыми , и (Рис.17).

Объем тела вращения вокруг оси определяется по формуле:

.

Телом вращения вокруг оси называется фигура, полученная от вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной на отрезке кривой и прямыми , и (Рис.18).

Объем тела вращения вокруг оси определяется по формуле:

.

Пример 44.

Вычислить объем тела вращения.

а) Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Построим плоскую фигуру, ограниченную параболой (ветви направлены вправо)и вертикальными прямыми , а также тело, образованное вращением вокруг оси этой плоской фигуры (рис. 19).

Определим объем тела вращения, подставив функцию в формулу для нахождения объема тела вращения вокруг оси :

(ед.³).

б) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Построим плоскую фигуру, ограниченную гиперболой и горизонтальными прямыми , а также тело, образованное вращением вокруг оси этой плоской фигуры (рис. 20).

Определим объем тела вращения, подставив функцию в формулу для нахождения объема тела вращения вокруг оси :

(ед.³).