Мат. Анализ задание. Савастенко
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь Учреждение образования
«Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова»
Факультет мониторинга окружающей среды
Кафедра физики и высшей математики
Т. Е. Кузьменкова
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
учебно-методическое пособие для студентов 1 курса
факультета мониторинга окружающей среды
Минск
2011
УДК 51 (075.8)
ББК 22.11я73
К89
Рекомендовано к изданию НМС МГЭУ им. А. Д. Сахарова (протокол № 8 от 26 апреля 2011 г.)
Ав то р :
к. пед. н., доцент Т. Е. Кузьменкова
Р ец е нз ен т ы :
зав. кафедрой экологических информационных систем МГЭУ им. А. Д. Сахарова, к.ф.-м.н. Иванюкович В. А.;
зав. кафедрой математики и МПМ УО «Мозырский государственный педагогический университет имени И. П. Шамякина», доцент, к.пед.н. Пакштайте В. В.
Кузьменкова, Т. Е.
К89 Математический анализ : учеб.-метод. пос. для студентов 1 курса факультета мониторинга окужающей среды / Т. Е. Кузьменкова. – Минск : МГЭУ им. А. Д. Сахарова, 2011. – 60 c.
ISBN 978-985-551-016-2.
Пособие содержит материал для проведения практических занятий по дисциплине «Высшая математика. Математический анализ» и предназначено для студентов 1 курса факультета мониторинга окружающей среды.
УДК 51 (075.8)
ББК 22.11я73
ISBN 978-985-551-016-2 |
© Кузьменкова, 2011 |
|
© Международный государственный |
|
экологический университет имени |
|
А. Д. Сахарова, 2011 |
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Программа по математическому анализу ...................................................................... |
4 |
Тема 1. Комплексные числа и действия над ними ....................................................... |
7 |
Тема 2. Функция, ее свойства и график.......................................................................... |
8 |
Тема 3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.... |
9 |
Тема 4. Предел функции. Односторонние пределы. |
|
Первый и второй замечательные пределы............................................................... |
12 |
Тема 5. Бесконечно малые функции ............................................................................. |
15 |
Тема 6. Непрерывность функции в точке и на промежутке. |
|
Точки разрыва функции и их классификация......................................................... |
17 |
Тема 7. Производная........................................................................................................ |
18 |
Тема 8. Дифференциал функции ................................................................................... |
20 |
Тема 9. Производные высших порядков...................................................................... |
21 |
Тема 10. Геометрический и механический смысл производной ............................. |
22 |
Тема 11. Правила Лопиталя............................................................................................ |
23 |
Тема 12. Формула Тейлора............................................................................................. |
24 |
Тема 13. Применение производной к исследованию функций |
|
и построению графиков .............................................................................................. |
25 |
Тема 14. Неопределенный интеграл ............................................................................. |
27 |
Тема 15. Интегрирование рациональных функций.................................................... |
30 |
Тема 16. Интегрирование тригонометрических функций ........................................ |
31 |
Тема 17. Интегрирование иррациональных функций ............................................... |
33 |
Тема 18. Определенный интеграл и его приложения ................................................ |
34 |
Тема 19. Несобственные интегралы ............................................................................. |
37 |
Тема 20. Числовые ряды и их сходимость................................................................... |
38 |
Тема 21. Степенные ряды ............................................................................................... |
43 |
Тема 22. Функции нескольких переменных................................................................ |
45 |
Тема 23. Частные производные функций нескольких переменных........................ |
47 |
Тема 24. Полный дифференциал функций двух переменных и его применение.48 |
|
Тема 25. Дифференцирование сложных и неявных функций.................................. |
49 |
Тема 26. Экстремумы функций двух переменных..................................................... |
50 |
Тема 27. Элементы теории поля .................................................................................... |
51 |
Тема 28. Криволинейный интеграл Ι рода ................................................................... |
52 |
Тема 29. Криволинейный интеграл ΙΙ рода.................................................................. |
53 |
Тема 30. Двойной интеграл ............................................................................................ |
54 |
Тема 31. Тройной интеграл ............................................................................................ |
57 |
Список литературы .......................................................................................................... |
59 |
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Множества. Функция
Множество и его элементы. Числовые множества. Множество действительных чисел. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Множество комплексных чисел и действия над ними. Изображение комплексных чисел. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность функции. Сложная и обратная функции. Элементарные функции и их классификация.
Числовая последовательность
Понятие числовой последовательности. Монотонность и ограниченность последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел числовой последовательности. Число e.
Предел и непрерывность функции
Понятие предела функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций.
Дифференциальное исчисление функций одной переменой
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Основные правила дифференцирования. Производная обратной и сложной функций, дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Логарифмическая производная. Производные высших порядков. Дифференциал функции, его основные свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя. Формула Тейлора и ее применение в приближенных вычислениях. Применение производной к исследованию функций (монотонность, экстремумы, направление выпуклости кривой, точки перегиба). Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
4
Неопределенный интеграл
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод подстановки и метод интегрирования по частям. Понятие рациональной функции, разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Существование определенного интеграла для непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла и его оценка. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения, статические моменты и координаты центра тяжести пластин). Несобственные интегралы первого и второго рода.
Теория рядов
Понятие числового ряда, сумма и остаток ряда. Сходимость и расходимость рядов. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости рядов. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши). Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Теоремы о непрерывности суммы функционального ряда, почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. Понятие степенного ряда. Область и радиус сходимости степенного ряда. Теоремы Абеля и Коши –Адамара. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Тригонометрический ряд Фурье, достаточные условия разложения функции в ряд Фурье.
Функции нескольких переменных
Понятие об n-мерном евклидовом пространстве. Ограниченные
изамкнутые множества. Область и ее граница. Понятие функции нескольких переменных. График функции. Линии и поверхности уровня. Предел
инепрерывность функции. Частные производные. Дифференцируемость
иполный дифференциал функции. Касательная плоскость и нормаль к по-
5
верхности. Дифференцирование сложной функции. Неявные функции одной и двух переменных. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области. Условный экстремум.
Интегральное исчисление для функций нескольких переменных
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройные интегралы, их свойства и способы вычисления. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Важнейшие приложения тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого и второго рода: определение, свойства и вычисление. Важнейшие приложения криволинейных интегралов. Поверхностные интегралы: определение, вычисление и основные приложения. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.
Элементы теории поля
Скалярное и векторное поля. Производная по заданному направлению. Градиент скалярного поля. Циркуляция вектора. Ротор векторного поля. Оператор Лапласа и его связь с дивергенцией и градиентом. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.
6
ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Вопросы для повторения:
1.Определение комплексного числа и способы его изображения.
2.Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного
числа.
3.Действия над комплексными числами.
Задачи
1.Изобразить точками комплексной плоскости следующие числа:
1)= 2 ; 2) = 2 − 3 ; 3) = 5 + 2 .
2.Выполнить действия:
1) |
|
3 + 5 + −2 + 7 ; 2) 5 + 7 − 4 ; |
|||||||||||
3) |
|
7 + 4 − 5 + 10 ; 4) 8 − 3 − (4 + 2 ). |
|||||||||||
|
|
3. Выполнить действия: |
|
|
|
|
|
||||||
1) |
|
2 + 3 |
|
5 − 2 ; 2) (3 − 2 )2; 3) (2 − )3; |
|||||||||
4) |
( (2 + ))2; |
5) (2 (3 − 4 ))2; |
6) |
1+ |
; |
|
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2− |
|||
7) |
|
2 |
; 8) |
2−5 |
− |
6−7 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1+ |
|
4+ |
4− |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
6 + 16 |
+ 26 + 36 |
+ 46 + 56; |
10) |
2−5+ 7 |
. |
5−87
4. Найти a и b, если:
1) + = |
5 + 3 − 7 + 2 ; |
2) + = |
7 − 12 + (4 − 3 ). |
5.Найти действительные корни уравнения
1+ + −2 + 5 = −4 + 17 .
6.Следующие числа записать в тригонометрической и показательной формах:
1)= 4 ; 2) = 2 − 2 ; 3) = − 3 − .
7.Выполнить действия:
1) |
5 cos40° + sin 40° |
× 3 |
cos50° + sin 50° ; |
|||||||||||||
|
4(cos100° + sin 100°) |
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
2(cos70° + sin 70°) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
1 |
)100; 4) ( |
|
|
+ )50; |
5) (1 + )10; 6) (1 − |
|
|
|||||
3) |
( |
− |
3 |
3)6. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
8.Найти все значения:
1)3 ; 2) 3 −2 + 2 .
9.Решить уравнения на множестве комплексных чисел С:
1)2 + 25 = 0; 2) 2 + 81 = 0; 3) 2 − 2 + 5 = 0;
4)2 + 4 + 13 = 0; 5) 4 2 + 4 + 5 = 0.
10.Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если дано:
1) 1 = 5 − ; 2) 1 = 3 − (2 − 4).
ТЕМА 2. ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Вопросы для повторения:
1.Определение функции, ее области определения и области значений.
2.Явный и неявный способы задания функции.
3.Сложная функция; обратная функция.
4.Четная и нечетная функции.
5.Периодичность тригонометрических функций.
6.Графики основных элементарных функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1. |
Дана функция |
= |
−2 |
. Найти |
0 , |
1 , −2 , ( |
1 |
) . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
2. |
Дана функция |
|
= 3 |
− 1. Найти 1 |
, , + 1 ,2 (2 ). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Дана функция |
|
= 3 |
+ 1. Найти 2 |
|
|
и ( ( ))2. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
4. |
Дано: = 2, = + 1. Выразить y как функцию от x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. |
Дано: = 1 + , = cos , = |
|
1 − 2 |
. Выразить U как функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||
от x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Записать в явном виде функцию y, заданную уравнением: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
= 5; |
2) 2 + 2 = 4; |
3) lg + lg + 1 |
= 4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
7. |
Найти область определения функции, если: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
= lg( + 3) ; 2) = |
; |
|
3) = |
|
|
5 − 2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+ ) |
; 6) = |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4) |
= |
|
|
2 |
− 4 + 3; 5) = |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1−2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7) |
= |
|
|
+ + 2; |
8) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lg (1−) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
8. |
Найти область значений функции, если: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
= |
|
+ 1; 2) = |
5 |
|
; 3) = 2 − 4; |
4) = −2 + 8 − 13; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) = ( − 2)2 + 3; 6) = |
|
|
|
25 − 2 |
; 7) = |
|
|
|
2 − 9; |
8
8) |
= 5 ; |
9) = 3sin ; 10) = 4 − cos2 . |
|||||||||
|
9. Какие из указанных функций четны, нечетны или являются функ- |
||||||||||
циями общего вида? |
|
|
|
||||||||
1) |
= 4 − 2 2; 2) = 6 sin 7 ; |
3) = − 8 2; |
|||||||||
|
|
; 5) = 5 − 3 |
|
|
|
; 6) = ln |
1− |
. |
|||
4) = |
2 |
||||||||||
2 −1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|||
|
10. Найти основной период функций: |
||||||||||
1) |
= sin 5 ; 2) = −2 cos |
|
+ 1 ; |
3) = cos2 3 ; |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4)= sin 2 + sin 4 .
11.Найти функцию, обратную данной:
1)= 1 − 3 ; 2) = 1−1 ; 3) = 10 +1;
4)= 1 + lg( + 2).
12.Построить графики следующих функций:
|
−2 |
, если < 0 |
|
4 − , если < −1 |
|
1) = |
; 2) = |
5, если − 1 ≤ ≤ 0. |
|||
3 , если ≥ 0 |
|||||
|
|
2, если > 0 |
|||
|
|
|
|
13. Пользуясь графиком функции = 2, построить графики следующих функций:
1) = 2 − 4; 2) = 3 − 2; 3) = ( − 2)2; 4) = ( + 2)2 − 3;
5) |
= |
1 |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Построить графики функций: |
|
||||||||
1) = − 2; 2) = 2 − 1 ; 3) = 4 − 2; |
|
|||||||||
|
4 |
|
|
1 |
3; 6) = 2 |
|
; 7) = 2−1 |
|
||
4) = |
; 5) = |
|
|
; |
||||||
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
8) |
= − log2 ; |
9) = sin 2 ; 10) = 1 − cos . |
ТЕМА 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вопросы для повторения:
1.Определения числовой последовательности и ее предела.
2.Основные приемы вычисления пределов последовательностей.
Задачи
1.Написать первые четыре члена последовательности ,если:
1)= sin 6 ; 2) = 42 +1−1 ; 3) = (2 )!.
9
2. Написать формулу общего члена последовательности:
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, … ; |
|||||
2 |
|
4 |
8 |
|
16 |
|||||||||||||||||||||||||||
2) 1, |
|
|
1 |
, |
|
|
1 |
|
, |
|
1 |
|
, … ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4 |
9 |
|
|
16 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) 2, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, … ; |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
5 |
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4) |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, … ; |
||||||||||||||
2 |
5 |
8 |
|
11 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||
5) − |
|
, |
|
|
|
|
|
|
, − |
|
|
, |
|
|
|
, … ; |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
6)1, −2, 3, −4, ….
3.Даны две последовательности = и = 1 . Найти после-
довательности |
|
± , |
|
× |
, |
|
. |
|||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. Найти пределы последовательностей: |
|||||||||||
1) |
lim |
+ 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
lim |
5 3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
lim |
4 2 + 3 |
; |
|
|
|
|
|
||||
2 − + 4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
lim |
+ 1 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)lim ( + 1)3 − ( − 1)3 ; n→∞ ( + 1)2 + ( − 1)2
6) |
lim( |
|
|
|
|
3 |
|
− |
|
2 |
|
); |
||||
2 2 − 1 |
2 + 1 |
|||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
3 3 |
+ 5 |
|
; |
|
|
||||||
4 + 2 − 7 |
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
||||||||||||
8) |
lim |
|
2 − 1 ( 2 + 1) |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
5 3 |
+ 2 |
− 1 |
|
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||
9) |
lim |
|
|
|
2 2 |
+ 1 |
|
; |
|
|
|
|
||||
|
2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||
10) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
10