Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Мат. Анализ задание. Савастенко

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
1.36 Mб
Скачать

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова»

Факультет мониторинга окружающей среды

Кафедра физики и высшей математики

Т. Е. Кузьменкова

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

учебно-методическое пособие для студентов 1 курса

факультета мониторинга окружающей среды

Минск

2011

УДК 51 (075.8)

ББК 22.11я73

К89

Рекомендовано к изданию НМС МГЭУ им. А. Д. Сахарова (протокол № 8 от 26 апреля 2011 г.)

Ав то р :

к. пед. н., доцент Т. Е. Кузьменкова

Р ец е нз ен т ы :

зав. кафедрой экологических информационных систем МГЭУ им. А. Д. Сахарова, к.ф.-м.н. Иванюкович В. А.;

зав. кафедрой математики и МПМ УО «Мозырский государственный педагогический университет имени И. П. Шамякина», доцент, к.пед.н. Пакштайте В. В.

Кузьменкова, Т. Е.

К89 Математический анализ : учеб.-метод. пос. для студентов 1 курса факультета мониторинга окужающей среды / Т. Е. Кузьменкова. – Минск : МГЭУ им. А. Д. Сахарова, 2011. – 60 c.

ISBN 978-985-551-016-2.

Пособие содержит материал для проведения практических занятий по дисциплине «Высшая математика. Математический анализ» и предназначено для студентов 1 курса факультета мониторинга окружающей среды.

УДК 51 (075.8)

ББК 22.11я73

ISBN 978-985-551-016-2

© Кузьменкова, 2011

 

© Международный государственный

 

экологический университет имени

 

А. Д. Сахарова, 2011

2

СОДЕРЖАНИЕ

 

Программа по математическому анализу ......................................................................

4

Тема 1. Комплексные числа и действия над ними .......................................................

7

Тема 2. Функция, ее свойства и график..........................................................................

8

Тема 3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности....

9

Тема 4. Предел функции. Односторонние пределы.

 

Первый и второй замечательные пределы...............................................................

12

Тема 5. Бесконечно малые функции .............................................................................

15

Тема 6. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

 

Точки разрыва функции и их классификация.........................................................

17

Тема 7. Производная........................................................................................................

18

Тема 8. Дифференциал функции ...................................................................................

20

Тема 9. Производные высших порядков......................................................................

21

Тема 10. Геометрический и механический смысл производной .............................

22

Тема 11. Правила Лопиталя............................................................................................

23

Тема 12. Формула Тейлора.............................................................................................

24

Тема 13. Применение производной к исследованию функций

 

и построению графиков ..............................................................................................

25

Тема 14. Неопределенный интеграл .............................................................................

27

Тема 15. Интегрирование рациональных функций....................................................

30

Тема 16. Интегрирование тригонометрических функций ........................................

31

Тема 17. Интегрирование иррациональных функций ...............................................

33

Тема 18. Определенный интеграл и его приложения ................................................

34

Тема 19. Несобственные интегралы .............................................................................

37

Тема 20. Числовые ряды и их сходимость...................................................................

38

Тема 21. Степенные ряды ...............................................................................................

43

Тема 22. Функции нескольких переменных................................................................

45

Тема 23. Частные производные функций нескольких переменных........................

47

Тема 24. Полный дифференциал функций двух переменных и его применение.48

Тема 25. Дифференцирование сложных и неявных функций..................................

49

Тема 26. Экстремумы функций двух переменных.....................................................

50

Тема 27. Элементы теории поля ....................................................................................

51

Тема 28. Криволинейный интеграл Ι рода ...................................................................

52

Тема 29. Криволинейный интеграл ΙΙ рода..................................................................

53

Тема 30. Двойной интеграл ............................................................................................

54

Тема 31. Тройной интеграл ............................................................................................

57

Список литературы ..........................................................................................................

59

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Множества. Функция

Множество и его элементы. Числовые множества. Множество действительных чисел. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Множество комплексных чисел и действия над ними. Изображение комплексных чисел. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность функции. Сложная и обратная функции. Элементарные функции и их классификация.

Числовая последовательность

Понятие числовой последовательности. Монотонность и ограниченность последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел числовой последовательности. Число e.

Предел и непрерывность функции

Понятие предела функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменой

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Основные правила дифференцирования. Производная обратной и сложной функций, дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Логарифмическая производная. Производные высших порядков. Дифференциал функции, его основные свойства. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя. Формула Тейлора и ее применение в приближенных вычислениях. Применение производной к исследованию функций (монотонность, экстремумы, направление выпуклости кривой, точки перегиба). Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

4

Неопределенный интеграл

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод подстановки и метод интегрирования по частям. Понятие рациональной функции, разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.

Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Существование определенного интеграла для непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла и его оценка. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения, статические моменты и координаты центра тяжести пластин). Несобственные интегралы первого и второго рода.

Теория рядов

Понятие числового ряда, сумма и остаток ряда. Сходимость и расходимость рядов. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости рядов. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Коши). Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Теоремы о непрерывности суммы функционального ряда, почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов. Понятие степенного ряда. Область и радиус сходимости степенного ряда. Теоремы Абеля и Коши –Адамара. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Тригонометрический ряд Фурье, достаточные условия разложения функции в ряд Фурье.

Функции нескольких переменных

Понятие об n-мерном евклидовом пространстве. Ограниченные

изамкнутые множества. Область и ее граница. Понятие функции нескольких переменных. График функции. Линии и поверхности уровня. Предел

инепрерывность функции. Частные производные. Дифференцируемость

иполный дифференциал функции. Касательная плоскость и нормаль к по-

5

верхности. Дифференцирование сложной функции. Неявные функции одной и двух переменных. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области. Условный экстремум.

Интегральное исчисление для функций нескольких переменных

Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройные интегралы, их свойства и способы вычисления. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Важнейшие приложения тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого и второго рода: определение, свойства и вычисление. Важнейшие приложения криволинейных интегралов. Поверхностные интегралы: определение, вычисление и основные приложения. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.

Элементы теории поля

Скалярное и векторное поля. Производная по заданному направлению. Градиент скалярного поля. Циркуляция вектора. Ротор векторного поля. Оператор Лапласа и его связь с дивергенцией и градиентом. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.

6

ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Вопросы для повторения:

1.Определение комплексного числа и способы его изображения.

2.Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного

числа.

3.Действия над комплексными числами.

Задачи

1.Изобразить точками комплексной плоскости следующие числа:

1)= 2 ; 2) = 2 − 3 ; 3) = 5 + 2 .

2.Выполнить действия:

1)

 

3 + 5 + −2 + 7 ; 2) 5 + 7 − 4 ;

3)

 

7 + 4 − 5 + 10 ; 4) 8 − 3 − (4 + 2 ).

 

 

3. Выполнить действия:

 

 

 

 

 

1)

 

2 + 3

 

5 − 2 ; 2) (3 − 2 )2; 3) (2 − )3;

4)

( (2 + ))2;

5) (2 (3 − 4 ))2;

6)

1+

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2−

7)

 

2

; 8)

2−5

6−7

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

4+

4−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

6 + 16

+ 26 + 36

+ 46 + 56;

10)

2−5+ 7

.

5−87

4. Найти a и b, если:

1) + =

5 + 3 − 7 + 2 ;

2) + =

7 − 12 + (4 − 3 ).

5.Найти действительные корни уравнения

1+ + −2 + 5 = −4 + 17 .

6.Следующие числа записать в тригонометрической и показательной формах:

1)= 4 ; 2) = 2 − 2 ; 3) = − 3 − .

7.Выполнить действия:

1)

5 cos40° + sin 40°

× 3

cos50° + sin 50° ;

 

4(cos100° + sin 100°)

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

2(cos70° + sin 70°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

)100; 4) (

 

 

+ )50;

5) (1 + )10; 6) (1 −

 

 

3)

(

3

3)6.

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8.Найти все значения:

1)3 ; 2) 3 −2 + 2 .

9.Решить уравнения на множестве комплексных чисел С:

1)2 + 25 = 0; 2) 2 + 81 = 0; 3) 2 − 2 + 5 = 0;

4)2 + 4 + 13 = 0; 5) 4 2 + 4 + 5 = 0.

10.Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если дано:

1) 1 = 5 − ; 2) 1 = 3 − (2 − 4).

ТЕМА 2. ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Вопросы для повторения:

1.Определение функции, ее области определения и области значений.

2.Явный и неявный способы задания функции.

3.Сложная функция; обратная функция.

4.Четная и нечетная функции.

5.Периодичность тригонометрических функций.

6.Графики основных элементарных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Дана функция

=

−2

. Найти

0 ,

1 , −2 , (

1

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2.

Дана функция

 

= 3

− 1. Найти 1

, , + 1 ,2 (2 ).

 

3.

Дана функция

 

= 3

+ 1. Найти 2

 

 

и ( ( ))2.

 

4.

Дано: = 2, = + 1. Выразить y как функцию от x.

 

5.

Дано: = 1 + , = cos , =

 

1 − 2

. Выразить U как функцию

от x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Записать в явном виде функцию y, заданную уравнением:

1)

= 5;

2) 2 + 2 = 4;

3) lg + lg + 1

= 4.

 

 

 

 

7.

Найти область определения функции, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

= lg( + 3) ; 2) =

;

 

3) =

 

 

5 − 2 ;

 

 

 

 

 

2−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1+ )

; 6) =

1

 

 

 

 

 

4)

=

 

 

2

− 4 + 3; 5) =

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

1−2

 

 

 

 

 

 

7)

=

 

 

+ + 2;

8) =

.

 

 

 

 

 

 

 

lg (1−)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти область значений функции, если:

 

 

 

 

 

 

 

1)

=

 

+ 1; 2) =

5

 

; 3) = 2 − 4;

4) = −2 + 8 − 13;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) = ( − 2)2 + 3; 6) =

 

 

 

25 − 2

; 7) =

 

 

 

2 − 9;

8

8)

= 5 ;

9) = 3sin ; 10) = 4 − cos2 .

 

9. Какие из указанных функций четны, нечетны или являются функ-

циями общего вида?

 

 

 

1)

= 4 − 2 2; 2) = 6 sin 7 ;

3) = − 8 2;

 

 

; 5) = 5 − 3

 

 

 

; 6) = ln

1−

.

4) =

2

2 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

10. Найти основной период функций:

1)

= sin 5 ; 2) = −2 cos

 

+ 1 ;

3) = cos2 3 ;

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4)= sin 2 + sin 4 .

11.Найти функцию, обратную данной:

1)= 1 − 3 ; 2) = 1−1 ; 3) = 10 +1;

4)= 1 + lg( + 2).

12.Построить графики следующих функций:

 

2

, если < 0

 

4 − , если < −1

1) =

; 2) =

5, если − 1 ≤ ≤ 0.

3 , если ≥ 0

 

 

2, если > 0

 

 

 

 

13. Пользуясь графиком функции = 2, построить графики следующих функций:

1) = 2 − 4; 2) = 3 − 2; 3) = ( − 2)2; 4) = ( + 2)2 − 3;

5)

=

1

 

2.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Построить графики функций:

 

1) = − 2; 2) = 2 − 1 ; 3) = 4 − 2;

 

 

4

 

 

1

3; 6) = 2

 

; 7) = 2−1

 

4) =

; 5) =

 

 

;

 

3

 

 

 

 

 

 

 

8)

= − log2 ;

9) = sin 2 ; 10) = 1 − cos .

ТЕМА 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Вопросы для повторения:

1.Определения числовой последовательности и ее предела.

2.Основные приемы вычисления пределов последовательностей.

Задачи

1.Написать первые четыре члена последовательности ,если:

1)= sin 6 ; 2) = 42 +1−1 ; 3) = (2 )!.

9

2. Написать формулу общего члена последовательности:

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

, … ;

2

 

4

8

 

16

2) 1,

 

 

1

,

 

 

1

 

,

 

1

 

, … ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

9

 

 

16

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

6

 

 

 

8

 

 

 

 

 

3) 2,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

, … ;

 

3

 

 

5

 

7

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4)

 

,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

, … ;

2

5

8

 

11

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

5) −

 

,

 

 

 

 

 

 

, −

 

 

,

 

 

 

, … ;

2

 

 

 

3

 

4

 

5

6)1, −2, 3, −4, ….

3.Даны две последовательности = и = 1 . Найти после-

довательности

 

± ,

 

×

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти пределы последовательностей:

1)

lim

+ 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

3 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

lim

5 3

 

;

 

 

 

 

 

 

 

3 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

lim

4 2 + 3

;

 

 

 

 

 

2 − + 4

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

4)

lim

+ 1

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)lim ( + 1)3 − ( − 1)3 ; n→∞ ( + 1)2 + ( − 1)2

6)

lim(

 

 

 

 

3

 

 

2

 

);

2 2 − 1

2 + 1

 

n→∞

 

 

 

 

 

7)

lim

 

 

 

3 3

+ 5

 

;

 

 

4 + 2 − 7

 

 

 

n→∞

 

 

 

8)

lim

 

2 − 1 ( 2 + 1)

;

 

 

 

 

5 3

+ 2

− 1

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

9)

lim

 

 

 

2 2

+ 1

 

;

 

 

 

 

 

2 − 1

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

 

 

 

 

 

10) lim

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

10