Мат. Анализ задание. Савастенко

∞5

4)! ;

=1

∞2 !

5)! 2 .

=1

7.С помощью радикального признака Коши исследовать сходимость

ряда:

=1

8.С помощью интегрального признака Коши исследовать сходимость

ряда:

9. Сходится или расходится данный знакочередующийся ряд:

41

=1

10. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость:

∞−1 +1

1) ;

=1

∞−1 +1

2)3 + 4 ;

=1

=1

42

∞−1 +1

2)?

2

=1

ТЕМА 21. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Вопросы для повторения:

1.Определение степенного ряда и области его сходимости.

2.Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

3.Разложение функций в степенной ряд.

4.Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Задачи:

1.Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

1)7 ;

=0

2)22 ;

=0

∞

3)! ;

=0

4)−1 ∙ 32 ∙ ;

=0

∞+ 1 2

5)∙ 2 ;

=1

43

=1

∞+ 2 2−1

5).

∙ 7

=1

3.Разложить данную функцию в ряд по степеням х:

1) = 1 + 3 ;

1

2) = 1 + 4 .

4. Разложить данную функцию в ряд по степеням (х-1):

1

1) = ;

2) = ln .

44

0

0,5

3)1 + 3 с точностью до 0,001.

0

ТЕМА 22. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вопросы для повторения:

1.Определение функции двух (трех) переменных, ее область опреде-

ления.

2.Линии уровня функции двух переменных.

3.Предел и непрерывность функции двух переменных.

Задачи

1.Дана функция

+ − 1

; = 2 + 2 2 + 3.

Вычислить следующие значения 1; 1 , 1;2 .

2. Для функции ; = 2−2 найти:

2

11

1); ;

2)−; − ;

3);

3.Для функции ; = + найти:

5); ;

6)− ; + .

45

4.Дана функция = 3 + 2 − 2 3. Найти ее значения в точках:

1)1; 2; −1 ;

2)3;1; −2 .

5.Найти область определения функции и изобразить ее на координатной плоскости:

9)= + arccos ;

10)= arcsin 2 + arccos 4 ;

6.Построить линии уровня функции:

1)= − ;

2)= ;

3)= 4 2 + 9 2;

2

4)= .

7.Найти предел функции:

1) lim sin ;

→−1 →0

2) lim 3 − ;

→1 2+ 2

→2

46

3) lim 3 − 3 ;

→2 −

→2

4) lim 1 ;

→0 4 4

→0

5) lim 2 + 5 sin 3 ;

→0 →0

− 2

7)lim .

→0 4 − + 2 − 2

→0

8.Дана функция ; = 2 2 + 2. Найти полное приращение функции при переходе от точки М0 (1; 1) к точке М (1,1; 0,9).

9.Доказать непрерывность функции = 2 + − 2.

10.Найти точки разрыва функции:

1 1) = − 1 2 + + 2 2 ;

1

2) = ;+ 3 2 + − 4 2

3) = 2 + 2 − 2 + 3 ;

+

4) = ln 1 − + 1 2 − − 2 2 .

ТЕМА 23. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вопросы для повторения:

1.Определение частной производной функции нескольких переменных по указанному аргументу.

2.Частные производные высших порядков; смешанные производные.

Задачи

1.Найти частные производные следующих функций:

1)= 3 + 3 2 − 3;

2)= ln 4 − 2 ;

47

= 2.

3.Найти значение выражения ′ + ′ + ′ , если = ln 1 + + 2 +

+ 3 при = = =1.

4. Дана функция = ∙ sin . Доказать, что ∙ + ∙ = 2.

5.Найти частные производные третьего порядка от функций:

1)= 3 − 4 2 + 5 2;

2)= ∙ ln ;

3)= arctg .

6.Найти указанные частные производные третьего порядка от функ-

ций:

ТЕМА 24. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Вопросы для повторения:

1.Полный дифференциал функций двух переменных.

2.Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

3.Полный дифференциал второго порядка.

48

Задачи

1. Найти полный дифференциал функции:

5 + 3

1) = 9 − 2 ; 2) = ln 3 + 2 ; 3) = ∙ − ;

4) = 2 − 2 − 2.

2. Найти значение полного дифференциала функции:

1) = + − 2 + 2 при 0 = 3; 0 = 4; ∆ = 0,1; ∆ = 0,2; 2) = при 0 = 1; 0 = 1; ∆ = 0,15; ∆ = 0,2.

3. Вычислить приближенно изменение функции = +3 при перехо-

−3

де от точки А(2;4) к точке В(2,5; 3,5).

4.Вычислить приближенно:

1)1,02 3 + 1,97 3;

ТЕМА 25. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

Вопросы для повторения:

1.Дифференцирование сложных функций.

2.Дифференцирование неявных функций одной и двух переменных.

3.Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

Задачи

1. Найти если:

49

1)= 2 + 3 + ; = 2 sin ; = 2 cos ;

2)= ∙ ln + ; = 3 ; = 1 − 3;

3)= 2−3 ; = tg ; = 2 − .

2.Найти , если:

1)= 3 + 3; = ∙ ; = ;

2)= cos , = ∙ ; = ∙ ln ;

3.Найти производную ′ функции, заданной неявно уравнением:

1)∙ 2 − ∙ = 8;

2)2 ∙ ln − 2 ∙ ln =0;

3)2 + 2 − − 1 = 0 в точке М(1;1);

4)2 + 2 − 2 + 4 − 6 − 3 = 0 в точке М(2;1).

4.Найти , для неявной функции = , , заданной уравнением:

1)3 − 3 = 2;

2)2 + 3 + 4 = .

5.Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке:

1)2 + 2 − 2 = 0 М(3;-4;5);

2 2

2)9 + 4 = 2 (3; −2; 1).

ТЕМА 26. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вопросы для повторения:

1.Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции двух переменных.

2.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

3.Условный экстремум функции двух переменных.

Задачи

1.Найти экстремумы функции двух переменных:

1)= 3 2 + 4 2 + 6 − 8 + 15;

50