Мат. Анализ задание. Савастенко

2)= −2 + − 2 − 9 + 6 − 35;

3)= 6 2 − 7 + 2 2 + 6 − 3 ;

4)= 2 3 + 2 3 − 36 + 10.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области Д:

1)= 1 + 2 + 3 , если область Д ограничена осями координат и прямой

+ = 6;

= 0; + = 6.

3.При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, площадь поверхности которой равна S, имеет наибольшую вместимость?

4.Найти условный экстремум функции:

1)= 8 − 2 − 4 при 2 + 2 2 = 12;

2)= 2 − 2 при + 2 − 6 = 0;

3)= 2 + 2 при − 2 − 5 = 0.

ТЕМА 27. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Вопросы для повторения:

1.Скалярное и векторное поля.

2.Производная скалярного поля по направлению вектора.

3.Градиент скалярного поля.

4.Дивергенция и ротор векторного поля.

5.Потенциальные и соленоидальные векторные поля.

Задачи

1. Найти производную скалярного поля = по направлению вектора 1; −2; 2 в точке 1; 1; 1 .

2. Найти производную плоского скалярного поля = 2 + 2 − 3 + +2 по направлению, идущему из начала координат в точку 3; 4 , в начале координат.

3. Найти градиент плоского скалярного поля = 4 + 2 + 2 в точке

2; 1 .

4.Найти градиент плоского скалярного поля в точке А:

51

1) = 3 2 − 3 + − 2, 1; 2; 3 ;

2) = ∙ sin − , 2 ; 6 ; 1 .

5. Найти угол между градиентами скалярного поля = 2+ 2 в точках

3; 0; 1 и 1; −1;0 .

6.Найти дивергенцию и ротор векторного поля = 2 ∙ − ∙ +

2 ∙ .

7.Найти в точке 1; 2; 3 , если = ∙ + ∙ + ∙ .

8.Найти , где = 2 + 2 2 + 3 2.

9.Найти , если = 2 ∙ − 2 ∙ + 2 ∙ .

10.Являются ли следующие векторные поля потенциальными:

1) 2; −2; ; 2) = 1 − ∙ 2 ∙ + 2 1 − ∙ − 2 − 3 2 ∙ ?

11.Являются ли следующие векторные поля соленоидальнами:

1); − − ; − ;

ТЕМА 28. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ Ι РОДА

Вопросы для повторения:

1.Определение криволинейного интеграла Ι рода и его свойства.

2.Сведение криволинейного интеграла Ι рода к определенному интегралу для различных способов задания кривой.

3.Основные приложения криволинейного интеграла Ι рода.

52

3)1 + 4 + 9 , где – дуга линии = , = 2, = 3,

где 0 ≤ ≤ 1;

4)2+ 2 , где – верхняя половина кардиоиды = 1 + cos ;

5) + , где – контур квадрата со сторонами = ±1, = ±1.

2. С помощью криволинейного интеграла Ι рода вычислить длину дуги кривой:

3.Найти массу материальной линии = 3, где 0 ≤ ≤ 1, если ее линейная плотность равна , = .

4.Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги

циклоиды = t − sin , = 1 − cos где 0 ≤ ≤ 2 .

ТЕМА 29. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ΙΙ РОДА

Вопросы для повторения:

1.Определение криволинейного интеграла ΙΙ рода и его свойства.

2.Сведение криволинейного интеграла ΙΙ рода к определенному интегралу для различных способов задания кривой.

3.Основные приложения криволинейного интеграла ΙΙ рода.

Задачи

1. Вычислить криволинейный интеграл ΙΙ рода в указанном направле-

нии:

1)sin2 + 2 , где – дуга линии = cos , 0 ≤ ≤ ;

53

0; 0 до точки 1; 1 ;

3)+ 2 , где – дуга линии = 2, = , 1 ≤ ≤ 2;

4)+ + , где – дуга линии = , = 2, = ,

0 ≤ ≤ 1.

2. Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования:

1)2 ∙ 2+ 6 + 3 2 ∙ 2+ 6 ;

2) 4 3 − 12 2 + 5 4 − 4 3 .

3. Проверить, что данные криволинейные интегралы не зависят от пути интегрирования, и вычислить их:

1,1

1)3 2 − 3 + 3 2 − 3 ;

0,0

2,0

2)3 2 + 6 2 + 6 2 + 4 3 .

1,1

4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутым контуром, образованным линиями = 4 и = 4.

5.Найти работу силы = 4 + 4 ∙ + 6 2 − 5 ∙ при перемещении материальной точки вдоль отрезка AB, если 1; 2 , 3; 6 .

6.Найти работу силы = ∙ + 3 + 8 ∙ при перемещении мате-

риальной точки вдоль эллипса 2 + 2 = 1.

81 16

ТЕМА 30. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Вопросы для повторения:

1.Определение двойного интеграла и его свойства.

2.Сведение двойного интеграла к повторному интегралу.

3.Переход к полярным координатам в двойном интеграле.

54

4. Основные приложения двойного интеграла.

Задачи

1. Вычислить повторные интегралы:

4 2

1) ;

30

2.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику:

3. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл

, в указанной области :

1)= 2, = 4;

2)2 = , = 2 , = 2;

3)2 + = 2, 3 = 2;

4)+ = 7, = 6;

5)треугольник с вершинами −2; −2 , −1; 2 , 6; 2 .

4.Вычислить двойные интегралы, если область D ограничена линиями:

1); : = 4, + = 5;

2)2 ; : 2+ 2 = 4, + − 2 = 0;

3)4 ; : = 1, = , = 2, = 0;

4)+ ; : = , = 0, = 2.

55

5.Вычислить двойной интеграл по указанной области:

1)4 sin ; где – круговой сектор, ограниченный линиями =

2) 3 sin ; где – область, ограниченная полярной осью,

линией = 1 + cos φ и расположенной выше полярной оси.

6. Вычислить двойной интеграл, вводя полярные координаты:

2)25 − 2 − 2 ; : 2 + 2 ≤ 9;

3)2 + 2 ; : 1 ≤ 2 + 2 ≤ 4, ≥ 0.

7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)2 = 4 , 2 − + 2 = 0, = −2, = 2.

2)2 + 2 = 4, 2 = 3 , ≥ 0 .

8.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

1)= 4 − 2, = 0, = 3, = 0;

2)= 4 2 + 2 2 + 1, + − 3 = 0, = 0, = 0, = 0;

3)= 25 − 2 − 2, = ±2, = ±3, = 0;

4)2 + 2 − + 2 = 0, 2 + 2 = 1, = 0.

9. Найти центр тяжести пластины, ограниченной параболами 2 =

, 2 = .

10. Найти массу пластины, занимающей область D, ограниченной указанными линиями, и имеющей данную поверхностную плоскость , :

2) 2 + 2 2 = 4 2 − 2 , если в каждой точке поверхностная плотность пропорциональна квадрату расстояния до начала координат.

56

ТЕМА 31. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Вопросы для повторения:

1.Определение тройного интеграла и его свойства.

2.Сведение тройного интеграла к повторному интегралу.

3.Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.

4.Основные приложения тройного интеграла.

Задачи

1. Вычислить повторные интегралы:

1 2 3

0 0

2.Расставить пределы интегрирования по указанной области V, если:

1)V ограничена плоскостями 2 + 3 + 4 − 12 = 0, = 0, = 0, = 0;

2)V ограничена цилиндром 2 + 2 =25 и плоскостями = 0, = 4;

3)V – часть конуса 2 + 2 = 2, отсеченная плоскостью = 2.

3.Вычислить тройной интеграл по данной области V:

1) 6 + 8 + 4 + 5 , где – куб 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1,

0 ≤ ≤ 1;

2) + + , где – призма, ограниченная

плоскостями + = 4, = 0, = 0, = 0, = 3.

57

4. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить тройной интеграл:

1)2 + 2 + 2 , где – призма, ограниченная

поверхностями 2 + 2 = 9, = 0, = 4;

6.Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями:

1)2 = 2 + 2, = 2;

2)2 + 2 − 2 = 0, 2 + 2 + 2 = 2, внутри конуса.

7.Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью 2 + 2 + 2 = 2 , которое в каждой точке имеет плотность, равную расстоянию от точки до начала координат.

8.Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхно-

стями 3 + 2 = 4, = 0, = 0, = 0, = 4 при заданной плотности

, , = .

58

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Баврин, И. И. Высшая математика: учеб. для студ. естеств.-науч. специальностей педаг. вузов / И. И. Баврин. – М. : Академия, 2003.

2.Гусак, А. А. Высшая математика: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 2001.

3.Гусак, А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справоч. пос. по решению задач / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСи-

стемс, 2001.

4) Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М. : Рольф, 2002.

59