Мат. Анализ задание. Савастенко

5. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислить, на сколько квадратных сантиметров приблизительно увеличится площадь

круга радиуса 4 см, если этот радиус увеличить на 41 см.

ТЕМА 9. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Вопросы для повторения:

1.Определение производной n-ого порядка.

2.Формулы для производной второго порядка функции, заданной параметрическими уравнениями.

4.Найти общее выражение для производной n-ого порядка, если:

1)= − ;

2)= 2 ;

3)= ∙ .

5.Доказать, что данная функция удовлетворяет соотношению:

1)= ∙ sin ; y 2y 2y 0;

2) = 4 + 2 − ; y 13y 12y 0.

6. Найти d 2 y , если: dx2

1)= + ;

2)ln − = 1;

3)+ = при x = 0.

dy

7.Найти dx2 , если:

1)= 2, = 3;

2)= cos , = sin ;

3)= ln , = 2 − 1.

8.Найти dy, d2y и d3y, если = (2 − 3)3.2

21

ТЕМА 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Вопросы для повторения:

1.Геометрический смысл производной.

2.Механический смысл производной.

Задачи

1. Написать уравнение касательной к кривой = 3 − 3 2 + 9 − 1

вточке M(1,6).

2.Найти угол наклона касательной к кривой = 3 в точке с абсцис-

сой x0 33 .

3.В какой точке касательная к параболе = −2 + 2 − 3 наклонена

коси Ox под углом 45°?

7.Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется формулой

= 3 + 2 мс . Какое ускорение будет иметь тело через 4 с после на-

через 5 с после начала движения.

9.Две материальные точки движутся по законам: 1 = 2 3 − 5 2 − −3 , 2 = 2 3 − 3 2 − 11 + 7. Найти ускорения этих точек в тот момент, когда их скорости равны.

10.Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

1 = 2,5 2 − 6 + 1, 2 = 0,5 2 + 2 − 3. В какой момент времени скорость первой точки будет в 3 раза больше скорости второй?

22

11. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается формулой= (1 − − ). Определить скорость реакции.

ТЕМА 11. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

2.Основные приемы преобразований для неопределенностей вида

∞– ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0.

Задачи

1. Найти указанные пределы функций:

1) lim ln ;

→1 − 1

2) lim 3 − 1 ;

→1 ln

3) lim − 1 ;

→1 − 1

4) lim tg − 1 ; →4 sin 4

5) lim ln ;

→+∞

6) lim 2 ;

→+∞

7) lim ln( 2 − 3) ; →2 2 + 3 − 10

8) lim − ln(1 + ) ;

→0 2

9)lim ln sin 2 . →0 ln sin

2.Раскрыть неопределенности вида ∞ – ∞ и 0 · ∞, преобразовав их

23

5) lim ( − 2 arctg ) ∙ ln .

→+∞

3. Раскрыть неопределенности вида 1∞, 00, ∞0, предварительно преобразовав их с помощью логарифмирования исходного выражения к неопре-

2) lim ln ctg tg ;

→0

3

3) lim cos2 2 ;

→0

4) lim sin .

→0

ТЕМА 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Вопросы для повторения:

1.Формула Тейлора.

2.Формула Маклорена.

Задачи

1. Разложить многочлен f(x) по степеням x – x0, если:

2.Разложить по формуле Тейлора функцию f (x) 1x в точке 0 = 1.

3.Разложить по формуле Маклорена функцию f (x) sin2 x.

24

ТЕМА 13. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

КИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

ИПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

Вопросы для повторения:

1.Необходимое и достаточное условия монотонности функции.

2.Необходимое и достаточное условия экстремума.

3.Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

4.Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

5.Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.

Задачи

1.Найти интервалы возрастания и убывания функций:

1)= 6 − 3 2 − 3;

2)= 4 − 2 2;

3)= ∙ ;

4)= ln( 2 − 2 + 4).

2.Найти экстремумы функций:

1) = 3 + 6 2 + 9 + 2;

4.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

5.Нужно изготовить коническую воронку с образующей l. Какова должна быть высота H воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

25

6. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Числен-

ность популяции возрастает по закону p(t) 1000 1000t , где t – время,

100 t 2

ч. Найти максимальный размер этой популяции.

7.Скорость роста популяции x задана формулой = 0,001 100 − , когда время выражается в днях. При каком размере популяции эта скорость максимальна?

8.Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону

= 18 + 9 2 − 3, где S – путь, м, t – время, с. В какой момент времени t скорость υ движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?

9.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба графика функции:

1) = 3 − 6 2 + 9 + 5;

2) = 3 + 4 ;

4

1

3) = 2 − 4 ;

3

4) = 4 − 2.

10. Найти асимптоты графика функции:

2

1) = + 3 ;

6

2) = 2 − 16 ;

12 3) = 2 + 2 − 4 ;

11. Исследовать функции и построить их графики:

2 + 1 1) = 2 − 1 ;

2) = ln 9 − 2 ;

3) = 2 ∙ − ;

4) = 2 + 1 ;

26

5)= ∙ ln ;

6)= 2 − 4.

ТЕМА 14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вопросы для повторения:

1.Определения первообразной функции и неопределенного интеграла.

2.Основные свойства неопределенного интеграла.

3.Таблица простейших неопределенных интегралов.

4.Прием подведения функции под знак дифференциала.

5.Основные методы интегрирования.

510

6)− 4 3 ;

7)2 + 1 ;

8)( 3 + 2)2 ;

27

12)5sh + 7 ch ;

2. Используя прием подведения функции под знак дифференциала, найти следующие интегралы:

1)cos(4 − 3) ;

2)sin(5 − 3 ) ;

3)2 +7 ;

4)43−5 ;

5)(9 + 2)17 ;

28

15)ln ;

2

18)3 + 1 ;

19)+ 1 ;

20)ctg ;

29

2

10)4 + 1.

4.Используя метод интегрирования по частям, найти следующие инте-

гралы:

1)∙ sin 2 ;

2)( − 2) ∙ cos ;

3)∙ − ;

4)2 ∙ 4 ;

5)∙ arctg ;

6)arccos ;

7)( 2 + 4 ) ∙ ln ;

+ 2

8)sin2 ;

9)∙ cos2 .

ТЕМА 15. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Вопросы для повторения

1.Простейшие правильные рациональные дроби и их интегрирование.

2.Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших правильных рациональных дробей.

3.Способы нахождения неопределенных коэффициентов.

2. Найти следующие интегралы:

30