2.2 Алғашқы таяныш жоспарын құру әдісі.

Оптималдық шешімге бастапқы тірек шешімін құрумен жуықтайды.

Шектеулер жүйесінің (2.1.1)-(2.1.2) m, n белгісіздері, m+n тендеулерімен берілген, сондай-ақ (2.1.3) қатынаспен байланысты.

Жүйенің (2.1.1) және (2.1.2) бөліктерінің теңдеулерін өз алдыларына қосса, бірдей екі тендеу алынады. Бұл жүйенің сызықты тәуелділігін көрсетеді, егер біреуін шығарып тастасақ, онда шектеулер жүйесінің m + n – l сызықты тәуелсіз теңдеулері қалады. Сонымен, транспорт есебінің құнарлы тірек шешімінің m + n – l оң таңбалы компоненті немесе тасымалы бар, яғни (), матрицасының m + n – l элементі ғана оң таңбалы да, қалғандары нөлге тең.

Транспорт есебінің шарты және тірек шешімі кестеде жазылса үлес бөлінген клетка бос емес, үлес бөлінбегені бос клетка деп аталады. Құнарлы тірек шешімінде m + n – l бос емес клетка базистік айнымалыларға тән. Шектеулер (2.1.1), (2.1.2) түрінде жазылса, тірек шешіміне енген базистік айнымалыларға сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі тән. Транспорт есебі кесте түрінде жазылса, үлестірулер тірек шешімін береді, егер ациклды болса, яғни төбелері бос емес клеткалардан тұйық цикл құруға болмаса.

Бір бағанда немесе бір жолда көрші екі клеткасы ғана орналасатын, сондай-ақ соңғы клеткасы бірінші клеткасымен бір жолда немесе бір бағанда жататын клеткалар жиынтығы цикл деп аталады.

Циклды құру кезкелген бос емес клеткадан басталады. Бағанмен (жолмен) келесі бос емес клеткаға, одан тік бұрылып жолмен (бағанмен) келесі бос емес клеткаға, тағы сол сияқты көшулермен бастапқы клеткаға оралуға тырысады. Қайта оралу мүмкін болса цикл алынғаны, үлестіру тірек шешімі емес. Тік бұрылатын клеткалар циклдың төбелерін анықтайды. Кері жағдайда үлестіру тірек шешімі болады.

Транспорт есебінің бос емес клеткалары m + n – l – ден артық кез-келген үлестіруі тірек шешімі бола алмайды, себебі оған сызықты тәуелді векторлар жүйесі тән. Бұндай үлестіруде, кестеде, кез келген уақытта бос емес клеткалар санын m + n – l -ге дейін кемітуге көмектесетін тұйық цикл құруға болады.

Құнарлы тірек шешімді анықтайтын, яғни ациклды бос емес клеткаларға әйтеуір бір бос клетканы тіркесек, тірек шешім болмай қалады да, бір төбесінен басқалары түгелдей бос емес клеткаларға жататын, жалғыз цикл пайда болады.

Транспорт есебінің бастапқы тірек шешімін сызықтық программалау есебінің осыған дейінгі әдістері мен құруға болады, бірақ бұл үлкен есептеулерді керек етеді. Бастапқы тірек шешімін құрудың бірнеше жеңіл жолдары бар, соларды мысалдар арқылы қарастырамыз.

Солтүстік-батыс бұрыш әдісі.

Жүк бірінші тұтынушыға сұранысы орындалғанша түгелдей бірінші ұсынушыдан, жетпегені екіншісінен, ол да жетпесе үшіншісінен, т.с.с., жасалады.

Егер бірінші ұсынушының қоры сұраныстан артық болса, қалғаны екінші тұтынушыға, одан қалғаны үшіншіге, т.с.с., барлық қоры біткенше тасымалданады.

Қалған тұтынушылар мен ұсынушылар арасындағы тасымал да осы тізбекпен жалғасады. Тасымалдау тізбегі транспорт есебі кестесінің солтүстік-батыс бұрышынан басталып, оңтүстік-шығыс бұрышында аяқталады.

Мысал.

Келесі есептің математикалық моделін және бастапқы тірек шешімін құру керек.

Ұсынушылар	Тұтынушылар					Қорлар
	2	4	7	9	200
	5	1	8	12	270
	11	6	4	3	130
Сұраныстар	120	80	240	160	600

Шешуі. – – ұсынушыдан – тұтынушыға тасымал көлемі болсын. Барлық жүкті тасымалдау бағасы

болатындай келесі шектеулер жүйесінің шешуін табу керек

Ұсынушылар	Тұтынушылар					Қорлар
	2 120	4 80	7	9	200
	5	1	8 240	12 30	270
	11	6	4	3 130	130
Сұраныстар	120	80	240	160	600

Бірінші ұсынушының қоры = 200 тұтынушының сұранысы = 120, клеткасына 120 тасымалданып, бағаннің басқа клеткалары сызылады, қалдық екінші тұтынушыға тасылады. Екінші тұтынушы сұранысы қалдығымен жабылады, сонымен клеткасына 80 тасымалданып, бағанының қалған клеткалары сызылады. Үшінші тұтынушының сұранысы екінші ұсынушының қорынан кем, сұраныс түгелімен орындалып, бағанының қалған клеткалары сызылады, қалдық келесі сұраушыға өтеді. Төртінші тұтынушының сұранысы үшінші ұсынушының қоры және қалдығымен орындалады.

Құрылған тасымалдың жалпы құнының үлестері бар клеткалардың бұрыштарындағы сандар көбейтінділерінің қосындысынан аламыз:

Осы тасымал жоспарының есептің тірек шешімі екндігіне көз жеткізейік. Бос емес клеткаларды бағандар және жолдармен байланыстырып, тұйық цикл, яғни кез келген бос емес клеткадан бастап қозғалып, осы клеткаға оралатын бос емес клеткалар тізбегін құру мүмкін емес. Ол түгілі клеткасынан баған бойымен келесі бос емес клеткаға да бара алмаймыз. Демек, бұл тасымал тірек шешімін, бос емес клеткалар саны m + n – l = 6 санынан кем болғандықтан құнарсыз тірек шешімін береді. Бос емес клеткалар саны 5.

Бұл үлестіру тасымалдау бағалары ескерілмей орындалғандықтан оптималды шешімнен алшақ болуы мүмкін. Осы бағалар ескерілетін кейбір әдістерді қарастырайық.

Бұндай әдістердің бірі кіші құн әдісі болып табылады.

Кестедегі ең кіші құн жазылған () клеткасына сандарының кішісі жазылып, қоры түгелдей тасылған ұсынушы жолы, немесе сұранысы түгелденген тұтынушы бағаны, немесе болса жол да, баған да сызылады.

Кестенің қалған бөлігінен тағы да кіші құн клеткасы таңдалып, жоғарыдағыдай әрекет қайталанады. Осылайша үлестіру барлық қорлар тасымалданып, сұраныстар түгелімен орындалғанша жалғасады.

Осы әдіспен бұған дейінгі есептің шешуін табайық. Есеп шартын кестеге жазып, барлық әрекетті орындасақ

цикл құру мүмкін емес үлестіруін аламыз. Мұндағы m + n – l саны үлестірулер санына тең, яғни құнарлы тірек шешімі алынғаны.

Ұсынушылар	Тұтынушылар					Қорлар
	2 120	4	7 80	9	200
	5	1 80	8 30	12 160	270
	11	6	4 130	3	130
Сұраныстар	120	80	240	160	600

Тасымалдың жалпы құны

Солтүстік-батыс бұрыш әдісімен алынған сандағыдан артық, оптималдық шешімнен алшақтай түскен.

Әрбір бағанның ең кіші құн орналасқан клеткаларына V белгісі қойылып, дәл осылай белгілеу әрбір жолдың клеткаларына да қайталанады. Нәтижесінде қос VV белгісі бар клеткалар шығады. Тасымалдау әуелі қос VV белгілі клеткаларға, әрі қарай кіші құн әдісімен жасалады. Ұсынушы қоры түгесілсе-жол, тұтынушы сұранысы орындалса-баған сызылып отырады. Бұндай әдіс қос мүмкіндік әдісі болып табылады.

Жоғарыда келтірілген есепті қос мүмкіндік әдісімен де қарастырайық.

Ұсынушылар		Тұтынушылар					Қорлар
	VV 2 120	4	7 80	9		200
	5	VV 1 80	8 160	12 30		270
	11	6	V 4	VV 3 130		130
Сұраныстар	120	80	240	160		600

Алдымен клеткаларын толтырамыз. клеткасы түгесілген қорға байланысты жолымен бірге сызылады. Кестенің қалған бөлігін кіші құн әдісімен толтырамыз: . Тасымалдау нәтижесінде

Құнарлы тірек шешімін алдық. Оның құны

Қарастырылған әдістерімен есептің құнарлы немесе құнарсыз тірек шешімдерін құрамыз. Шешімді оптималдыққа дейін симплекс әдісімен жеткізуге болады. Бірақ транспорт есебінің симплекс кестесі айнымалы, улкен болғандықтан және көп есептеуді қажет еткендіктен көбіне қарапайым әдістерді қолданады. Жиі қолданылатын потенциалдар әдісін қарастырайық.