2.Рацион құру есебі.

Бордақылауда әрбір жануар күніне ең кемінде 10 өлшем S₁, 8 өлшем S₂ және 10 өлшем S₃ қоректік заттарын қабылдауы тиіс. Рацион екі түрлі жемнен құрылады. Әрбір жемнің килограмындағы қоректік заттардың мөлшері және жемдердің бағалары кестеде берілген.

Қажетті қоректік заттары жеткілікті және жалпы шығын min-ды болатын күндік рацион құру керек.

Есептің математикалық моделін құрайық.

Қоректік заттар	1 кг жем қүрамындағы қоректік зат мөлшері
	жем I	жем II
S1	2	1
S2	1	1
S3	1	4
Жем кг-ның бағасы	3	4

Күндік рациондағы жемдер тиісінше х₁ және х₂ кг десек, кестедегі цифрлар арқылы қоректілік сақталу үшін

теңсіздіктерінің орындалуы қажетті. Егер жем рационда қолданылмаса х₁ 0 немссе х₂ 0 болады, кері жағдайда немесе . Жалпы жағдайда, , шарттары орынды.

Есептің мақсаты күндік рационға min шығын жұмсау болғандықтан, рацион құнын сызықтық функциясы арқылы анықтап, осы функцияның min мәнін табу талап етіледі. Есеп көп шешімді, х₁ және х₂ шексіз көп мәндер қабылдауы мүмкін. Сонымен, теңсіздіктер жүйесінің

сызықтық функцияға мәнін беретін шешімдерін табу керек.

Шешуі. О координаталар жүйесінде шекаралық түзулерді

,

,

,

және осы түзулерге қарағанда теңсіздіктер анықтайтын жарты жазықтықтар қиылысында шешімдер көпбұрышын тұрғызамыз. Нәтижесінде A,B,C,D бұрыштық нүктелері (төбелері) болатын, шектеусіз көпбұрышты облысты аламыз. N(3,4) векторын және (Z) түзуін тұрғызып, Z түзуін өзіне-өзін параллель N векторы бағытында жылжыта отырып, шешімдер көпбұрышының С нүктесінде алғаш тірек түзуіне айналатынын көреміз (сурет 5). Түзуді әрі қарай жылжыта берсек, сызықтық функцияның мәні шешімдер көпбұрышының нүктелерінде өсе бастайды. Демек С нүктесінде сызықтық функция min мәнін қабылдайды. Бұл нүкте түзулердің қиылысында жатқандықтан

теңдеулер жүйесін шешу арқылы координаталарын , табамыз. Табылған мәндерді сызықтық функцияға қойсақ, аламыз.

Сонымен min шығын жұмсау үшін күндік рационды кг I – жемнен, II – жемнен құру қажет.

Жалпы графиктік әдіспен n-m=2 болатын сызықтық программалау есебін шеше аламыз. Мұндағы n – айнымалылар (белгісіздер) саны, m – сызықтық тәуелсіз тендеулер саны.

Сызықтық программалау есебін қарастырайық.

Бұндағы барлық теңдеулер сызықтық тәуелсіз және n-m=2 ұатынасы орындалсын.

Жордан – Гаусс әдісімен m жою барсында алғашқы m айнымалылар x₁, x₂, … , x_m – базистік, ал соңғы екі айнымалы x_m+1, x_n – еркін айнымалыларға айналсын делік, яғни жоғарыда көрсетілген шектеулер мына түрге келтірілсін

(1.3.4)

Түрленген жүйе (1.3.4) теңдеулері арқылы сызықтық функцияны тек еркін айнымалылармен өрнектейміз де, базистік айнымалыларды шығарып тастап, теңсіздіктермен берілген шектеулерге көшеміз. Ақырында келесі есепті аламыз.

бұл есепте екі айнымалы ғана болғандықтан графиктік әдіспен шеше аламыз. Оптималдық х_m+1 және х_n мәндерін тауып, (1.3.4)-ге қою арқылы, x₁,x₂,...,x_m оптималдық мәндерін табамыз.