§ 3. Критерій компактності

Нехай маємо множину Е метричного простору Х і {_} – система відкритих множин цього простору.

Означення 3.1. Говорять, що система {_} відкритих множин, покриває множину Е, якщо кожна точка х є Е, належить хоча б одній з множин _ , цієї системи.

Теорема 3.1. (Гейне-Бареля). Нехай К – компакт, який належить метричному простору Х. Тоді з будь-якого відкритого покриття компакта К можна виділити скінченне підпокриття.

Доведення. Нехай К – компакт, – довільне відкрите покриття К. Спочатку доведемо, що існує ₀>0 таке, що при будь-якому х є К, куля S(x, ₀) входить цілком в деяку множину .

Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться послідовність чисел _п0, _п>0 і точок х_п є М, таких, що кулі S(x_n, _п) не ввійдуть ні в одну з множин _. З послідовності {x_n}, можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х₀ є К (внаслідок того, що К компакт). Так, як система покриває К, то знайдеться множина з цієї системи така, що . Внаслідок того, що є відкритою множиною, то цілком містить деяку кулю. Виберемо п_к настільки великим, щоб і , з нерівності , справедливої для будь-якого х із кулі , робимо висновок, що , хоча за побудовою не може входити ні в одне . Це протиріччя доводить справедливість твердження.

Нехай ₀>0 вибране так, що виконується вище доведене твердження. Покажемо, що існує скінченна кількість точок ,, що.

Припустимо, що це не так. Візьмемо довільне х₁К. Тоді існує х₂К таке, що (х₁;x₂)₀ (в іншому випадку компакт містився б у кулі S(x₁;₀)). Аналогічно існує х₃К, таке, що (х₁;x₃)₀, (х₂;x₃)₀ і т.д. Одержимо послідовність {x_n}, таку, що (х_i;x_j)₀, при ij. Очевидно, що жодна підпослідовність цієї послідовності не є фундаментальною, а значить і збіжною. Прийшли до протиріччя.

Таким чином існує скінченна кількість точок х₁, х₂,..., х_р, х_іК, що . Так, як цілком входить в деяку множину , то. Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай К – непорожня множина метричного простору Х. Якщо із будь-якої системи {_}, відкритих множин, яка покриває К, можна виділити скінченне підпокриття, то К – компакт.

Доведення. Припустимо, що К не є компактом. Тоді існує послідовність {х_п} така, що з неї не можна виділити підпослідовніть, яка збігається до точки множини К. Тоді кожна точка х множини К має окіл S(x;) (­ - залежить від х) в якому міститься не більше, як скінченна кількість елементів послідовності. (Якби в довільному околі якоїсь точки х^* є К, міститься нескінченна множина точок послідовності, то існувала б підпослідовність послідовності {х_п}, яка б збігалася до до х^*). Множина куль S(x;) покриває множину К. Внаслідок умови теореми, існує скінченна кількість куль S(у_і, _і), (і=1,2,...,р), які покривають К. Так, як всі елементи послідовності {х_п} містяться в , а в кожній S(у_і, _і) міститься скінченна кількість елементів послідовності, то {х_п} має скінченну кількість елементів, що суперечить означенню послідовності. Теорему доведено.

З теорем 3.1 і 3.1, слідує критерій того, що К є ком пактом.

Теорема 3.3. Для того, щоб множина К метричного простору Х була компактом, необхідно і достатньо, щоб з кожного відкритого покриття К можна було виділити скінченне підпокриття.