- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
Розглнемо кривух2+у2=1, це є коло.
Зрозуміло, що якщо точка М0 належить колу і не належить його горизонтальному діаметру, то завжди можна знайти окіл точки такий, що в ньому дане рівняння задає єдину функцію у від х, що визначена на проекції цієї дуги на вісь ОХ, тобто х, що належить проекції у(х):х2+у(х)2=1. Будемо казати, що рівняння х2+у2=1 задає неявну функцію у від х.
Нехай функція F(x;y) визначена на множині ЕR2 і Х – проекція цієї множини на вісь ОХ.
Будемо говорити, що рівняння F(x;y)=0, задає у, як функцію від х, у=f(х) на множині Х, якщо хХ існує пара (х;f(x))Е, яка задовільняє рівняння F(x;y)=0, тобто F(x;f(x))=0 є тотожністю на множині Х.
В нашому прикладі , .
Ми бачимо, що в околі точки М0 це рівняння задаває єдину функцію у(х), щоб знайти її явне вираження, ми розв’язали наше рівняння відносно у. Та це вдасться зробити не завжди. Одже виникає така задача: як маючи певні властивості функції F, прогнозувати існування цієї неявно заданої функції, а також, які властивості повинна мати F, щоб ця неявно задана функція була, наприклад, неперервною чи диференційовною.
Зауважимо, що навіть на нашому простому прикладі видно, що якщо ми візьмемо т. М0(1,0), то такої єдиної визначеної функції, як вище вже не буде. Якщо ми спроектуємо будь-який окіл цієї точки М0 на ОХ, то помітимо, що на інтервалі, що належить проекції цього околу, рівняння кола задає безліч функцій у(х).
Теорема 1.1. Нехай:
1) функція F(x;y) неперервна разом із своїми частинними похідними Fx і Fy в деякому уколі т. М0(х0,у0);
2) Fy в точці (x0;y0) не дорівнює нулю;
3) F(x0;y0)=0.
Тоді в деякому прямокутнику П={(x;y) x0-1<x<x0+1, y0-2<y<y0+2}, рівняння F(x;y)=0 задаватиме єдину функцію у=f(x), яка задовільняє наступним умовам:
1) ця функція буде неперервною на інтервалі (х0-1;x0+1);
2) на цьому інтервалі існує f(x), яка буде неперервною.
Доведення. Нехай . З умов 1,2 теореми випливає, що деякий окіл т. М0, такий, що для всіх точок М, з цього околу, F(x;y) буде диференційовною і Fy(x;y)>0
В
У0+2 х0+1 х0-1
Візьмемо будь-яке х, яке належить (х0-1;х0+1) і проведемо через це х пряму, перпендикулярну до ОХ. Оскільки точка А лежить на відрізку А1А2, а в кожній точці цього відрізка F(x;y)<0, то F(A)<0. Аналогічно F(B)>0.
Розглянемо функцію F(x;y) на відрізку АВ. На цьому відрізку вона є функцією однієї змінної у (бо тут х зафіксоване). При цьому вона буде неперервною на [y0-2;y0+2] і строго зростаючою. Оскільки в лівому кінці інтервала вона приймає від’ємне значення, а в правому – додатнє, то із всього сказаного вище випливає (за теоремою Больцано-Коші), існування єдиного у із інтервала (y0-2;y0+2) такого, що F(x;y)=0.
Таким чином ми встановили, що на інтервалі (х0-1,х0+1) існує єдина функція y=f(x) така, що F(x,f(x))=0 на цьому інтервалі.
Покажемо, що функция f(x) неперервна на інтервалі (х0-1,х0+1). Нехай х(х0-1,х0+1). Дамо х приріст х. Тоді функція одержить приріст y.
Точки (x;y) і (х+х;y+y), де y=f(x), y+y=f(x+y) задовільняють рівнянню F(x;y)=0. Таким чином
F(x;y)=F(х+х;y+y)-F(x;y)=0.
Використовуючи теорему Лагранжа, одержимо:
0=F(х+х;y+y)-F(x;y)=(F(х+х;y+y)-F(x;y+y))+(F(x;y+y)-F(x;y))=
=Fx(x+x;y+y)x+Fy(x;y+1y)y,
де 0<<1, 0<1<1. Так, як Fy≠0, то
(1.1).
Оскільки Fx і Fy неперервні у замкнутому прямокутнику і Fy >0, то існують М>0 і т>0 такі, що Fx ≤M і Fy>m.
Таким чином . Звідси маємо. Якщох0, то y0, а це і означає, що f(x) неперервна в точці х.
Покажемо, що існує похідна f(x) для будь-якого х(х0-1,х0+1). Нехай х(х0-1,х0+1). Надамо х приріст х. Тоді функция одержить приріст у. Якщо х0 то і у0. При цьому , де 0<<1, 0<1<1. Враховуючи, що Fx і Fу неперервні і Fу≠0, перейшовши до границі, коли х0, одержимо:
.
А це і означає, що похідна в точці х існує і
.
Крім цього, як випливає з останньої формули,є неперервна на інтервалі(х0-;x0+) тому, що чисельник і знаменник останньої рівності є композиція неперервних функцій ііу=f(x). Теорему доведено.