Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності

В цьому параграфі ми розглянемо одне з найважливіших понять математичного аналізу – границю послідовності в метричному просторі. Ви побачите, що тут буде багато чого схожого на те, що вивчалось для послідовностей дійсних чисел.

Означення 1.1. Кулею з центром в точці , радіусаr, в метричному просторі Х називається множина точок цього простору, які задовільняють умови: .

Кулю з центром в і радіуса r будемо позначати .

Означення 1.2. Околом точки будемо називати кулю з центром в цій точці.

Означення 1.3. -околом точки називається куля.

Кулю, яка введена в означенні 1.1, називають відкритою кулею. Іноді вживають поняття замкненої кулі з центром в точці і радіусом r – це множина точок метричного простору, для яких виконується нерівність . Замкнену кулю позначають . -окіл точки х₀ будемо позначати S(x₀;), або О_(х₀).

Означення 1.4. Множина М метричного простору Х називається обмеженою , якщо існує замкнена куля, яка містить цю множину.

Нехай маємо послідовність

(1.1)

елементами якої є точки метричного простору Х.

Означення 1.5. Точка , метричного просторуХ, називається границею послідовності (1.1), якщо .

Дане означення, очевидно еквівалентне наступному:

Означення 1.5.* Точка є границею послідовності (1.1), якщо NN, таке, що для всіх n≥N, виконується нерівність .

Якщо є границею послідовності (1.1), то це записують так:.

Як ми бачимо, означення границі послідовності в метричному просторі, аналогічне означенню границі послідовності дійсних чисел (Якщо , то).

Якщо , то геометрично це означає, що який би ми окіл точкине взяли, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності попадуть в цей окіл.

Означення 1.6. Послідовність, яка має границю, називається збіжною.

Теорема 1.1. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Доведення. Нехай і. Поскільки,коли, то. Зачить.

Теорема 1.2. Якщо послідовність має границю, ,то і будь-яка її підпослідовність має границю.

Доведення. Нехай . Тоді, на основі властивості границі для послідовностей дійсних чисел, де– підпослідовність послідовності .

Теорема 1.3. Якщо послідовність має границю, то вона – обмежена.

Доведення. Нехай . Візьмемо, тоді існує натуральне числоN таке, що при всіх виконується нерівність:

(1.2).

Нерівність може не виконуватись тільки для перших N-1 елементів цієї послідовності. Якщо за r візьмемо , то для всіх n виконується нерівність: .

Означення1.7. Нехай маємо послідовність елементів метричного просторуХ. Дана послідовність називається фундаментальною, якщо NN таке, що при всіх n≥N, m≥N виконується нерівність .

Tеорема 1.4. Якщо послідовність має границю, то вона – фундаментальна.

Дана теорема доводиться аналогічно, як і для послідовностей дійсних чисел.

Обернене твердження, як це було для дійсних чисел, в довільному метричному просторі не вірне. Дійсно, розглянемо простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між х і у визначимо рівністю . Послідовність,nN належить цьому простору, вона – фундаментальна, але границі не має (ірраціональне число).

Лема 1.1. Для будь-яких x, y, z, u з метричного простору Х правильна нерівність:

(1.3).

Доведення. За аксіомою трикутника маємо

,

звідси

(1.4).

Помінявши місцями x i z, y i u, одержимо:

(1.5).

З (1.4) і (1.5) випливає (1.3). Лему доведено.

Теорема 1.5. Коли ,, то.

Доведення. За лемою 1.1 , коли. Теорему доведено.

Нехай маємо лінійний нормований простір. Тоді в цьому просторі можемо ввести метрику, поклавши . Збіжність в метриці породженій нормою, називаютьзбіжністю по нормі.

Теорема 1.6. Якщо послідовність фундаментальна і існує підпослідовність цієї послідовності, яка збігається до , то і сама послідовність збігається до .

Доведення. Нехай фундаментальна послідовність, – збіжна підпослідовність, . Візьмемо. Внаслідок фундаментальності , існує натуральне число N₁ таке, що при , виконується нерівність:

(1.6).

Внаслідок збіжності існує натуральне , що привиконується нерівність

(1.7).

Нехай . Візьмемо, враховуючи, що, використовуючи (1.6) і (1.7), прибудемо мати

.

Звідки слідує, що . Теорема доведена.