§ 2. Замикання і його властивості

Означення 2.1. Множина всіх точок дотику множини , називається замиканням даної множини.

Замикання множини будемо позначати .

З означення ми бачимо, що , де - похідна множини .

Теорема 2.1. Замикання множини має наступні властивості:

1);

2), тобто замикання множини співпадає з самим замиканням;

3)якщо і - множини метричного простору Х і , то ;

4)якщо і - множини метричного простору Х , то .

Доведення. 1)Включення очевидне.

2)Доведемо, що

(2.1).

Перш за все замітимо, що на основі властивості 1),

(2.2).

Покажемо протилежне включення:

(2.3).

Нехай . Візьмемо довільний -окіл, , точки . В цьому околі є хоча б одна точка з . Позначимо її . Візьмемо і розглянемо -окіл, , точки . Оскільки для будь-якої точки х з цього околу виконується нерівність:

,

то робимо висновок, що

(2.4)

Так як , то в околі міститься хоча б одна точка з множини Е, тому внаслідок (2.4), в околі також міститься хоча б одна точка з множини Е. Тобто . Цим самим доведено співвідношення (2.3). З (2.2) і (2.3) слідує рівність (2.1).

3)Якщо , то кожна точка дотику є точкою дотику , цим самим властивість 3) доведена.

4)Доведемо, що

(2.5).

Покажемо, що

(2.6).

Нехай . Переконаємось, що , або . Якщо , то існує окіл точки такий, що в ньому нема жодної точки з . Якби не належала , то існував би окіл в якому нема жодної точки з . Тоді в околі , де нема точок ні з , ні з , а значить і з об’єднання , тобто , таким чином , або , а значить . Включення (2.5) доведено.

Доведемо обернене включення. З того, що і , слідує, що і , а значить і

(2.7).

З (2.6) і (2.7) слідує (2.5). Теорему доведено.

§ 3. Замкнені множини і їх властивості

Означення 3.1. Множина F метричного простору Х, називається замкненою, якщо вона містить всі свої граничні точки.

Інакше кажучи, F – замкнена множина, якщо .

Наприклад: сегмент [a;b] – замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок – замкнена (). Покажемо, що замкнена куля є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщо –гранична точка , то . Нехай гранична точка . Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність , яка збігається до . За теоремою 1.4 розділу 2, маємо . Оскільки , то , тобто . Твердження доведено.

Теорема 3.1. Об’єднання скінченного числа замкнених множин є множиною замкненою.

Доведення. Нехай , – замкнені множини. Покажемо, що F – замкнена множина. Нехай . Покажемо, що є граничною точкою хоча б однієї з . Доведемо від супротивного. Припустимо, що не є граничною точкою жодної з множин . Так як , то існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Аналогічно, існує окіл , в якому нема жодної точки з (відмінної від ) і т. д. Існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Тоді в околі де нема жодної точки з , а значить і з об’єднання (відмінної від ). Тобто . Прийшли до протиріччя. Таким чином . Внаслідок замкненості точки , а значить і об’єднанню . Теорему доведено.

Зауваження: об’єднання нескінченної множини замкнених множин може і не бути замкненим. Це випливає з наступного прикладу: .

Кожна з множин замкнена, а об’єднання цих множин не є замкненим, ((-1;1) не є замкненою множиною).