- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
В математичному аналізі ми часто зустрічаємося з поняттям границі. Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же об’єктів, в зв’язку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів {хп} до елемента х0 означає необмежене “наближення” хп до х0, необмежене зменшення “відстані” між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами хп і х0, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі. Такі множини називаються метричними просторами.
Означення 1.1. Множина Χ називається метричним простором, якщо для будь-яких x, y із множини Χ ставиться у відповідність дійсне число ρ(x,y) і при цьому виконуються наступні умови:
1)ρ(x,y)≥0, при чому ρ(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);
2)ρ(x,y)=ρ(y,x) (аксіома симетрії);
3)x,y,z є Χ виконується умова ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) (аксіома трикутника).
Прикладами метричних просторів є: відрізок, 3-вимірний простір. Елементи простору називаються точками простору, ρ(x,y) називається відстанню між елементами x,y. Якщо введена відстань, то говорять, що введена метрика.
Якщо візьмемо будь-яку множину, то можна ввести метрику, поклавши ρ(x,y)=1, якщо xy і ρ(x,y)=0, якщо x=y.
§ 2. Нормований метричний простір
Надалі ми будемо використовувати поняття лінійної системи, яке розглядалося в лінійній алгебрі.
Означення 2.1.Непорожня множинаΧназиваєтьсялінійною системою над полем Р, дійсних чисел, якщо:
I.Для будь-яких двох елементів хR і уR є однозначно визначений третій елемент z=x+y, який називається їх сумою, причому
1)х+у=у+х (комутативність додавання),
2)х+(у+z)=(x+y)+z (асоціативність додавання).
II.Для будь-якого дійсного числа і будь-якого елемента хR існує і притому єдиний елемент х, який називається добутком елемента х на число , причому ( і - числа, х, у - елементи):
3)(х)=()х (асоціативність множення),
4)1.х=х,
5)(х+у)=х+у (дистрибутивність множення
6)(+)х=х+х відносно додавання).
III.Існує такий елемент R, який називається нульовим, що
7) 0х= для будь-якого хR.
Означення 2.1. Лінійний система Х називається лінійним нормованим простором, якщо ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам:
1)≥0,причому =0 тоді і тільки тоді, коли;
2), виконується рівність ;
3)для довільних з множинивиконується нерівність
Число називаєтьсянормою елемента х. Елементи множини називаютьсяточками, або векторами простору.
Якщо в лінійному нормованому просторі за відстань між елементамих, у прийняти
(2.1),
то отримаємо метричний простір.
Дійсно, з умови 1) означення 1.3 випливає, що , причомутоді і тільки тоді, коли, а це еквівалентно тому, що. Так, як, то з умови 2) означення 1.3 маємо
.
Виконання умови 3) означення метричного простору слідує з властивості 3) означення 2.1. Дійсно нехай , тоді
.
Таким чином ми переконались, що будь-який лінійний нормований простір стає метричним простором, якщо покласти . При цьому слід зауважити, що.
Зауваження 1.1 Якщо маємо лінійну систему і на ній введена матрика, то не завжди величину можна прийняти за. Справді, розглянемо множинуS всіх послідовностей дійсних чисел . Коли відстань між двома послідовностямиі, визначимо рівністю, то множинаS стане метричним простором. Якщо в цьому просторі ввести поняття суми х+у і добутку х, елементів х на дійсне число , як це робиться з послідовностями, а за нульовий елемент прийняти =(0,0,...,0), то даний метричний простір стане лінійною системою. Коли за значення норми елемента х прийняти число , то не буде виконуватись друга аксіома норми, тобтоне завжди дорівнює