- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
Нехай функція U=f(x1,…,xn) визначена в області D і в кожній точці існує частинна похідна по змінній хі. Тоді ця частинна похідна є функцією змінних х1,...,хп, яка визначена в цій області. Може трапитись, що ця функція в точці має частинну похіднупо зміннійхк. Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною другого порядку або другою частинною похідною функції U=f(x1,…,xn) в точці М0 спочатку по змінній хi, а потім по змінній хк і позначають так: . При цьому, якщо іk, то частинну похідну називають змішаною частинною похідною.
Аналогічно вводяться частинні похідні третього, четвертого і т. д. порядків.
Нехай в області D існує частинна похідна (m=1) порядку по змінних і ця частинна похідна в точці М0(х1(0),...,хп(0)) має частинну похідну по змінній . Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною m-го порядку або m-тою частинною похідною функції U=f(x1,…,xn)в точці М0 по змінних . Співвідношення, яке визначає цю частинну похідну записують так: .
Якщо не всі індекси і1, і2,...,іт співпадають між собою, то частинна похідна називається змішаною.
Розглянемо приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції . Отримаємо ; ; ; ;; .
§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
В вище наведеному прикладі змішані похідні ; функції були рівні. Наступний приклад показує, що це не завжди так.
Нехай .
Тоді ;
Розглянемо достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
Означення 2.1. Функція U=f(x1,…,xn), називається т раз диференційовною в точці М0(х1(0),...,хп(0)) , якщо всі частинні похідні (т-1)-го порядку є функціями диференційовними в цій точці .
Теорема 2.1. Для того, щоб функція U=f(x1,…,xn) була т раз диференційовною в точці М0(х1(0),...,хп(0)) достатньо, щоб її частинні похідні т-го порядку були визначені в деякому околі точки М0 і були неперервними функціями в цій точці.
Справедливість цього твердження слідує з теореми про достатню умову диференційовності функції.
Теорема 2.2. (про рівність змішаних похідних другого порядку). Якщо функція U=f(x,у) двічі диференційовна в точці М0(х0, у0), то .
Доведення. Так як функція U=f(x;y) двічі диференційовна в точці М0, то частинні похідні f /x(x;y) і f /y(x;y) визначені в деякому околі точки М0.
Розглянемо вираз
=f(x0+h, y0+h)-f(x0+h, y0)-f(x0, y0+h)+f(x0;y0), (2.1),
де h – довільне число, таке, що точка М0(х0+h, y0+h) міститься у вище вказаному околі. Переписавши у вигляді
=(f(x0+h, y0+h))-f(x0+h, y0))-(f(x0, y0+h)-f(x0;y0)),
помічаємо, що це є приростом функції (х)=f(x, y0+h)-f(x, y0) в точці х0. Тобто
=(х0)=(х0+h)-(х0) (2.2).
Оскільки функція (х) на х0, х0+h задовільняє умові теореми Лагранжа, то
=(х0+1,h)h=(fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0+1h,y0))h=(fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0,y0)-(fx(x0+1h,y0)-fx(x0,y0)))h (2.3).
де 0<1<1. Так, як fx(x,y)- диференційовна в точці М0, то
fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0,y0)=fxx(x0,y0) 1h+fxy(x0,y0)h+1(h) 1h+2(h)h, (2.4).
fx(x0+1h,y0)-fx(x0,y0)=fxx(x0,y0) h+3(h) 1h, (2.5)
при цьому 1(h), 2(h),3(h) прямують до нуля, коли h0.
Підставивши (2.4) і (2.5) в (2.3), одержимо:
=((fxx(x0,y0)1h+fxy(x0,y0)h+1(h)1h+2(h)h)-((fxx(x0,y0)1h+3(h) 1h))h=(fxy(x0,y0)+1(h) 1+2(h)-3(h) 1)h2=(fxy(x0,y0)+1(h))h2 , (2.6),
де 1(h)=1(h)1+2(h)+3(h)1.
Переписавши у наступному вигляді
=(f(x0+h,y0+h)-f(x0,y0+h))-(f(x0,y0+h)-f(x0,y0)),
бачимо, що є приростом функції (y)=f(x0+h,y)-f(x0,y) в точці у0. Застосувавши теорему Лагранжа і врахувавши диференційовність fy(x,y) в точці М0, ми отримаємо наступне представлення для ,
=(fyx(x0,y0)+2(h))h2 (2.7),
при цьому 2()0, коли h0.
Прирівнявши праві частини рівностей (2.6) і (2.7) і скоротивши на h2, отримаємо:
fxy(x0,y0)+1(h)=fyx(x0,y0)+2(h) (2.8).
Перейшовши до границі, коли h0, отримаємо:fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0). Теорема доведена.
Наступна теорема теж дає достатні умови рівності змішаних похідних другого порядку.
Теорема 2.3. Нехай в деякому околі точки М0(х0,у0) функція U=f(x,y) має частинні похідні fx, fy, fxy, fyx. Якщо fxy і fyx неперервні в М0, то fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).
Доведення. Розглянемо =f(x0+h, y0+h)-f(x0+h, y0)-f(x0, y0+h)+f(x0;y0). Замітимо, що =(х0), де (х)=f(x, y0+h)-f(x, y0). Застосувавши теорему Лагранжа до (х), отримаємо:
=(fx(x0+1h,y0+h)-fx(x0+1h,y0)), де 0<1<1.
Застосувавши теорему Лагранжа до функції t(y)=fx(x0+1h,y) на відрізку у0,у0+h, одержимо
=fxy(x0+1h,y0+2h)h2, 0<2<1.
Внаслідок неперервності fxy(x,y) в точці (х0,у0), маємо
=(fxy(x0,y0)+1(h))h2 (2.9),
де 1(h)0, коли h0. Представивши у вигляді =(у), де (у)=f(x0+h,y)-
-f(x0,y), аналогічно одержуємо
=(fyx(x0;y0)+2(h))h2 (2.10),
де 2(h)0, коли h0. Прирівнявши праві частини рівностей (2.9) і (2.10), скоротивши на h2 і перейшовши до границі, коли h прямує до нуля, отримаємо fxy(x0;y0)=fyx(x0;y0).
Теорема 2.4. Якщо U=f(x0;…;xn) m разів диференційовна в точці М0, то змішана частинна похідна, в цій точці, не залежить від порядку повторного диференціювання.
Доведення. Очевидно, достатньо довести незалежність значень давільної т-тої змішаної похідної від порядку проведення двох послідовних диференціювань. Тобто достатньо довести рівність:
(2.11).
Розглянемо функцію . Ця функція є диференційовною функцією від змінних, тому внаслідок теореми 2.2. маємо:
.
Звідси і слідує рівність (2.11). Теорему доведено.