§ 4. Відкриті множини і їх влативості

Нехай Х – метричний простір.

Означення 4.1. Множина метричного простору називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою точкою цієї множини.

Весь простір Х – відкрита множина. Порожня множина за означенням є відкритою. Будь-яка куля є відкритою множиною. Покажемо це. Нехай , тобто r. Позначимо через . Якщо , то . Отже . Таким чином кожна точка кулі належить кулі , тобто . Значить кожна точка є внутрішньою точкою.

Нехай Е множина простору Х. Через СЕ будуть позначати доповнення множини Е до простору Х.

Теорема 4.1. Для того, щоб множина G метричного простору Х була відкритою, необхідно і достатньо, щоб доповнення СG цієї множини до простору Х було замкненим.

Доведення. Необхідність. Нехай G – відкрита множина, і гранична точка СG. Покажемо, що . Припустимо, що . Тоді . Так, як G є відкритою множиною, то – внутрішня точка цієї множини, а тому існує окіл цієї точки, який повністю міститься в G і, значить, в ньому нема жодної точки з СG, що суперечить означенню граничної точки. Таким чином . Тобто якщо , то . Множина СG – замкнена.

Достатність. Нехай СG – замкнена і . Внаслідок замкненості СG точка не може бути точкою дотику CG. Значить існує окіл такий, що в ньому немає жодної точки CG, тобто міститься повністю в G. Таким чином кожна точка множини G є внутрішньою точкою цієї множини. Тобто множина G – відкрита.

Теорема 4.2. Переріз скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 4.3. Об’єднання довільної множини відкритих множин є множина відкрита.

Доведення обох теорем – схожі. Ми доведемо теорему 4.2.

Нехай , де – відкриті множини. Розглянемо доповнення СG множини G до простору Х. . Так як кожна множина відкрита, то доповнення СG_і – замкнене. Внаслідок теореми 3.1, множина є замкненою множиною, а множина G внаслідок теореми 4.1, є відкритою множиною.

Зауваження до теореми 4.2. Переріз нескінченної множини відкритих множин може і не бути відкритою множиною. Це видно з наступного прикладу:

.

Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції

Означення 1.1. Нехай маємо дві множини Х і У. Якщо кожному елементу за певним законом ставиться у відповідність один і тільки один елемент у із множини У, то говорять, що на множині Х задана функція f (або відображення множини Х в множину У).

Записують так: . Якщо у відповідає х, то записують так: . Множина Х називається областю визначення функції f. Множина тих , які приймає функція, називається областю значень функції , – область значень, (не обов’язково ). Якщо , говорять, що функція відображає множину Х на множину У.

Через будемо позначати прообраз множини (це множина А всіх тих х-ів з Х, що ).

§ 2. Границя і неперервність функції

Нехай маємо два метричні простори Х і У. Відстань в просторі Х будемо позначати , в просторі У – ₁.

Нехай множина М міститься в Х, , на множині М задана функція , яка відображає множину М в У, гранична точка множини М.

Означення 2.1. Елемент b простору У, називається границею функції f, коли х прямує до , якщо для довільного існує таке, що для будь-якого х із множини М , яке задовольняє умові , виконується нерівність: .

Дане означення евівалентне наступному.

Означення 2.2. Елемент b простору У, називається границею функції f, коли х прямує до , якщо для довільної послідовності вилученої з М, причому , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до b.

Еквівалентність обох означень доводиться як і для дійсних функцій.

Якщо b – границя функції f при х, прямуючому до , то записують так: , іноді пишуть, коли . Якщо , то це геометрично означає, що який би ми окіл точки b не взяли, то знайдеться проколотий окіл точки х₀ такий, що якщо х попаде в цей проколотий окіл, то f(x) попадає у вибраний окіл точки b (проколотий окіл точки х₀ – це окіл точки х₀ з якого вилучено точку х₀).

Означення 2.3. Функція f, ,називається неперервною в точці , якщо для довільного , існує , таке, що для всіх х з множини М , які задовільняють умові , визначається нерівність .

Якщо є граничною точкою множини М , то це означення еквівалентне наступному.

Означення 2.4. Функція f називається неперервною в точці , якщо .

Еквівалентність обох означень для цього випадку очевидна.

Означення 2.5. Функція f, яка відображає множину М метричного простору Х в метричний простір У , називається неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Означення 2.6. Функція f , , називається рівномірно неперервною на множині М, якщо для довільного , існує таке , що для будь-яких х₁ і х₂ із множини М, які задовольняють умові , виконується рівність .

Якщо f рівномірно неперервна на М, то вона і неперервна на цій множині. Обернене твердження взагалі невірне.

Теорема 2.1. (Критерій неперервності). Для того, щоб відображення f:XY було неперервним в Х, необхідно і достатньо, щоб прообразом будь-якої відкритої множини простору У була відкрита множина простору Х.

Доведення. Необхідність. Нехай f неперервне відображення і G відкрита множина простору У, f ^–1(G) прообраз G. Якщо f ^–1(G) є порожньою множиною, то все зрозуміло, бо порожня множина є відкритою множиною. Нехай f ^–1(G) і х₀ f ^–1(G). Тоді у₀=f(x₀) G. Оскільки G відкрита множина, то існує -окіл S(y₀;) точки у₀, який повністю лежить в G. Так, як відображення f неперервне в точці х₀, то існує -окіл цієї точки такий, що для всякого х з цього околу, f(x) належить S(y₀,). Отже всі точки -околу точки х₀ належать f ^–1(G), а це означає, що х₀ внутрішня точка f ^–1(G), а f ^–1(G) є відкритою множиною.

Достатність. Нехай прообразом будь-якої відкритої множини є відкрита множина. Покажемо, що f неперервна функція в G. Нехай х₀Х, у₀=f(x₀)Y. Візьмемо довільний -окіл S(f(x₀),) точок f(x₀). Оскільки він є відкритою множиною, то його прообразом є відкрита множина, яка містить точку х₀. Тому існує -окіл S(x₀,) точки х₀, який повністю міститься в f ^–1(G). А це означає, що f є неперервною функцією в точці х₀, а отже і в просторі Х. Теорему доведено.