Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів

Раніше ми показали, що коли послідовність елементів {х_п} метричного простору Х має границю, то вона фундаментальна. Був приведений приклад, який показував, що обернене твердження взагалі кажучи невірне.

Означення 1.1 Метричний простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність цього простору має границю.

Прикладом повного метричного простору є R – множина дійсних чисел. Простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між числами визначається рівністю не є повним.

Покажемо повноту просторів Rⁿ, l₂, C[a;b].

Встановимо повноту Rⁿ

Нехай маємо фундаментальну послідовність {x^(m)} елементів простору Rⁿ: x^(m)=(x₁^(m), x₂^(m),…,x_n^(m)).

З нерівності, вірної при кожному і,(і=1,2,...,п) і фундаментальності {x^(m)} випливає фундаментальність кожної з послідовностей {x_i^(m)}, і=1,2,…,п, а, значить і збіжність, внаслідок критерію Коші збіжності числової послідовності. Нехай . Тоді послідовність {x^(m)} збігається до х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾), оскільки в просторі Rⁿ покоординатна збіжність еквівалентна збіжності в метриці цього простору. Повнота простору Rⁿ доведена.

Розглянемо простір l₂

Візьмемо довільну фундаментальну послідовність {x⁽ⁿ⁾} елементів простору l₂. х^(п)=(х₁^(п), х₂^(п),...,х_і^(п),...) . Як це було зроблено вище, встановлюємо, що при кожному і, послідовність {x_i⁽ⁿ⁾} – фундаментальна, а значить – збіжна.

Нехай . Покажемо, що послідовність х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,х₂⁽⁰⁾,..,х_і⁽⁰⁾,..) є елементом простору l₂ і .

Візьмемо e >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при всіх п³N i m³N виконується нерівність або те саме

(1.1)

З цієї нерівності слідує, що при кожному фіксованому натуральному р

(1.2)

Якщо ми п зафіксуємо, а т спрямуємо до нескінченності, то одержимо:

.

Оскільки ця нерівність вірна при будь-якому натуральному р, то перейшовши до границі, коли р прямує до нескінченності, одержимо:

(1.3)

Звідси виливає, що послідовність (х₁^(п)-х₁⁽⁰⁾, х₂^(п)-х₂⁽⁰⁾,...,х_і^(п)-х_і⁽⁰⁾,...)Îl₂. З рівності х_і⁽⁰⁾=х_і^(п)-(х_і^(п)-х_і⁽⁰⁾) і з того, що l₂ є лінійною системою, робимо висновок, що х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,...,х_і⁽⁰⁾,...)Îl₂. З нерівності (1.3), яка вірна при будь-якому n³N робимо висновок, що . Повнота простору l₂ доведена.

Розглянемо простір С[a;b]

Нехай {x_n} – фундаментальна послідовність елементів простору С[a;b]. Візьмемо e >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при п³N i m³N виконується нерівність: або , а це означає, що при будь-якому t виконується нерівність: при п³N i m³N.

З критерію Коші рівномірної збіжності робимо висновок, що дана послідовність функцій збігається рівномірно до х₀ на сегменті [a;b]. Оскільки всі х_п неперервні на [a;b], то х₀ теж неперервна на даному сегменті. Тобто х₀ÎС[a;b]. Оскільки збіжність {x_n} в просторі С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності, то робимо висновок, що . Повнота С[a;b] доведена.

Нехай маємо лінійний нормований простір.

Лінійний нормований простір, називається простором Банаха (або банаховим простором), якщо він є повним простором в метриці породженій нормою. Наведені вище приклади є прикладами банахових просторів. Серед банахових просторів особливе місце займають гільбертові простори.

Означення. Нескінченно вимірна лінійна система, на якій введено скалярний добуток, називається простором Гільберта (або гільбертовим простором), якщо вона є повним метричним простором в метриці породженій скалярним добутком.

Простір l₂ є простором Гільберта.