Упражнения

1. Вычислите:

 

а) ; б) ; в) .

 

2. а) Сколькими способами можно расположить пять книг разных авторов на книжной полке в один ряд?

б) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «выбор­ка»?  

в) Сколько всего сигналов можно составить, меняя порядок семи различных флагов: красного, синего, зеленого, желтого, коричневого, черного и белого?

г) Сколькими способами можно распределить 10 различных писем по 10 различным конвертам?

д) Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом? 

3. а) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если цифры в числе не повторяются?

б) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если цифры в числе не повторяются?

в) Сколько можно составить пятизначных телефонных номеров из всех цифр так, чтобы в каждом отдельном номере все цифры были различными?

г) Команда из пяти человек выступает в соревнованиях по плаванию, в которых участвует еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться личные места, занятые членами этой команды?

4. Докажите тождество:

а) ; б) ;

в) .

Бином Ньютона. Треугольник Паскаля Свойства сочетаний

Рассмотрим некоторые свойства сочетаний.

Свойство 1:   . Это сразу следует из выведенной формулы .

Свойство 2:   .

В самом деле, сумма в левой части дает число всех подмножеств данного множества.

Свойство 3:   . Может быть доказано преобразованием обеих частей.

Свойство 4:  (для n, m ≥1) . Может быть доказано преобразованием правой части.

 

Треугольник Паскаля

Существует эффективный способ вычисле­ния значений  при различных конкретных значениях n и m.

Выпишем в первой строке значение . Во второй строке выпи­шем значения  то есть числа 1, 1. В третьей строке выпишем значения , то есть, соответственно, числа 1, 2, 1. В следую­щей строке будут значения , ― соответственно, числа 1, 3, 3, 1. Каждая последующая строка будет содержать все значения   при значениях m = 0, 1,…, n для n = 4, 5, ...

Заполнение каждой строки, начиная с третьей, происходит следую­щим образом, в соответствии со свойствами сочетания:

1. Крайние слева и справа элементы любой строки равны 1 (свойство 1).

2. Каждый внутренний элемент строки равен сумме соседних с ним сле­ва и справа элементов предыдущей строки (свойство 4).

Получаем следующую фигуру (при n = 0, 1, 2, З, 4, 5):

n = 0                                                   1

n = 1                                               1      1

n = 2                                             1    2     1

n = 3                                           1   3     3    1

n = 4                                        1   4    6     4   1

n = 5                                      1   5  10   10   5   1

Построен так называемый треугольник Паскаля для n от 0 до 5. Его построение по описанному принципу может быть продолжено как угод­но далеко. В любой строке треугольника равны любые два числа, равноотстоящие от концов (по свойству 3).

Заметим, что самая верхняя строка имеет номер 0; следующая ― но­мер 1 и т. д.; номер любой строки, начиная со второй, совпадает с чис­лом, следующим за левой единицей. Кроме того, в любой строке с но­мером n сумма всех ее членов равна 2ⁿ, Это следует из свойства 2.

Треугольник Паскаля позволяет находить без вычислений по форму­ле любое значение  . Например, найдем  . Для этого ищем строку, в которой после левой единицы находится число 5, затем, начиная от это­го числа, отсчитываем третье; это и будет искомое значение. Таким об­разом, .