Самостоятельная работа по теме «Соответствия и отношения»

1. Докажите, что бинарное отношение

задает отображение , найдите .

2. Найдите прообраз множества при отображении , где .

3. Найдите прообраз множества при отображении , где .

4. Определите тип отображения:

а) , где ;

б) , где ;

в) , где .

5. Найдите обратные соответствия для следующих функций:

а) ;

б) ;

в) .

§4. Операции на множествах и их свойства

Основные знания, умения, и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения данной темы:

• знать основные операции на множествах;

• знать определение бинарной операции на множестве;

• знать и понимать свойства бинарных операций.

Основные понятия темы: n-арная операция, бинарная операция.

О п р е д е л е н и е 1: Отображение множества Аⁿ в множество А называется n-арной (n-местной) операцией f, заданной на множестве А. Число n называется рангом операции.

Из этого определения следует, что n-арная операция является всюду определенным, функциональным соответствием, т.е. всюду определенной функцией n переменных со значением из множества А.

Действие этой функции на элементы множества А обозначают так:

Элементы называют операндами, а значение функции   ― результатом операции f.

В частности, при n = 0 операцию f называют нуль-арной, ее смысл состоит в том, что на множестве А выделяется (фиксируется) некоторый элемент. При n = 1 операцию f называют унарной, она является отображе­нием f: А  А. При n = 2 ― бинарной, она является отображением f: А²  А. При n = 3 ― тернарной, она представляет собой отображение f: А³  А.

Например, нуль-арными операциями будут: операция фиксации 1 на множестве N натуральных чисел, или операция фиксации 0 на множестве Z целых чисел; унарными операциями являются операция возведения в целую степень, а⟼аⁿ на множестве Q рациональных чисел, или операция взятия противоположного элемента а ⟼(-а) на множестве Z целых чисел.

В математике чаще всего рассматриваются бинарные операции. Ре­зультат бинарной операции f(a,b) обычно записывают в виде a f b . Вместо буквы f в конкретных случаях используют специальные знаки и символы:

+, –, ∙, : ― для операций над числами;

, , \ ― для операций над множествами;

&, ∨, ,   ― для операций над высказываниями;

∘ ― для композиции отображений.

Из определения n-арной операции следует, что соответствие f: А²А является бинарной операцией тогда и только тогда, когда истинны следующие условия:

1.  (а,b)А²  сА | a f b = с ― условие выполнимости операции на множестве (всюду определенности).

2.  (а,b)А²  с, d A | (a f b = с) & (a f b = d)  (с = =d) ― условие однозначности операции (функциональности).

З а м е ч а н и е. Если условие 2) не соблюдается, т.е.

3. (а,b)А² с, d A | (a f b = с) & (a f b = d)&(с  d) , то соответствие f не является операцией, более того ― отображением.

Если не соблюдается условие 1), соответствие f не является всюду определенным, т.е. (а,b)А² |сA, (a f bc)   или (а,b)А² | (a f b = с) &(сA), то мы приходим к следующему определению:

О п р е д е л е н и е 2: Функцию f: А²А называют частичной бинарной операцией на множестве А (частично выполнимой на множестве А операцией), если она не является всюду определенной.

П р и м е р 1: Арифметическая операция вычитания целых чисел на множестве натуральных чисел N не всегда выполнима, так как (а,b)N² |   (a-b)N, то есть эта операция ― частична. В то же время она ― однозначна, так как

(а,b)N²  с, d N | (a – b = с) & (a – b = d)  (с = d)

П р и м е р 2: Арифметическая операция деления рациональных чисел на множестве Z целых чисел также частично выполнима. Например, ре­зультат деления целых чисел 3 и 5 не является целым числом.

О п р е д е л е н и е 3: Если на множестве А задана бинарная операция * и непустое подмножество В множества А таково, что  а, bВ, а * b В, т.е операция *, заданная на А, выполнима на его подмножестве В, то такое подмножество В называется замкнутым относительно операции *. В этом случае говорят также, что операция * не выводит за пределы множества В.

П р и м е р 3. Относительно операции умножения целых чисел множе­ство всех положительных целых чисел замкнуто, а множество всех отрица­тельных целых чисел незамкнуто.

Иногда свойство замкнутости множества относительно операции считают эквивалентным свойству выполнимости операции на множестве.