- •В. Ф. Пуркина, е. В. Кайгородов
- •Оглавление
- •§1. Элементы математической логики
- •Высказывания
- •Упражнения
- •Равносильность формул. Виды формул
- •Упражнения
- •Предикаты и кванторы Предикаты
- •Упражнения
- •Логические законы, правила вывода. Метод математической индукции Законы логики
- •Упражнения
- •Теоремы стандартного вида. Необходимые и достаточные условия
- •Вопросы для самоконтроля
- •Упражнения
- •Самостоятельная работа по теме «Элементы математической логики»
- •§2. Множества и элементы комбинаторики
- •Множества
- •Упражнения
- •Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
- •Правило произведения
- •Перестановки, размещения и сочетания
- •Упражнения
- •Бином Ньютона. Треугольник Паскаля Свойства сочетаний
- •Треугольник Паскаля
- •Формула бинома Ньютона
- •Упражнения
- •Самостоятельная работа по теме «Множества и элементы комбинаторики»
- •Соответствия и отношения
- •Операции над соответствиями
- •Упражнения
- •Свойства и типы соответствий Виды соответствий
- •Упражнения
- •Бинарные отношения и их свойства Отношения
- •Упражнения
- •Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество
- •Самостоятельная работа по теме «Соответствия и отношения»
- •§4. Операции на множествах и их свойства
- •Упражнения
- •Исследование свойств бинарных операций на числовых множествах
- •Упражнения
- •Зачетная контрольная работа
- •6. Глоссарий
- •7. Основная и дополнительная литература
- •7.1. Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Элементарная математика
Упражнения
Доказать, что композиция двух инъекций является инъекцией.
Доказать, что композиция двух сюръекций является сюръекцией.
Доказать, что композиция двух биекций ― биекция.
Какими свойствами обладают соответствия:
a) , ;
б) , ;
в) , ;
г), ;
д), ;
е) , ;
Бинарные отношения и их свойства Отношения
Если дано соответствие и X = Y, то f называют отношением во множестве X. Примерами отношений в R могут служить: ; ; ; и т.п.
Если X = М, где М ― множество прямых, то ; и т.д.
Таким образом, отношение есть частный случай соответствия и поэтому все свойства соответствий справедливы и для отношений, однако, для отношений вводятся еще дополнительные свойства такие, как рефлексивность, симметричность, транзитивность и т.д.
Отношениеf на множестве X называют рефлексивным, если , х f x.
П р и м е р 1: Пусть , . Это отношение рефлексивно, т.к. каждое действительное число, отличное от нуля, делится само на себя, т.е. .
Отношение f на множестве X называют антирефлексивным, если , то есть график этого отношения не содержит ни одной пары вида , или ни один элемент не имеет «петли».
П р и м е р 2: Пусть , . Это отношение антирефлексивно, так как любое действительное число не больше самого себя.
Отношениеf на множестве X называют симметричным, если .
График симметричного отношения вместе с парой содержит и пару , или же: если есть стрелка из х в у, то и есть стрелка и из y в x.
П р и м е р 3: Если X = М, , то это отношение будет симметричным, так как если прямая x параллельна прямой y, то и прямая y параллельна прямой x.
Отношение f на множестве X называют асимметричным, если одновременно, то есть если график этого отношения содержит пару , то не содержит пару или, если из x в y приходит стрелка, то из y в x ее нет.
П р и м е р 4: Пусть , . Это отношение асимметрично, так как если х < у, то x не может быть больше у.
Отношение f на множестве X называют антисимметричным, если из того, что
П р и м е р 5: Пусть , . Это отношение антисимметрично.
Ясно, что всякое асимметричное отношение является и антисимметричным, но не наоборот.
Отношение на множестве X называют транзитивным, если из того, что
П р и м е р 6: Отношения х< у, х = у, х > у, х || у — транзитивны.
Отношение f на множестве X называют связным, если
П р и м е р 7: Пусть X = N, . Это отношение рефлексивно, так как , антисимметрично, так как , если транзитивно, так как если , не связно, так как , например, : .
Упражнения
Какими свойствами обладают отношения на множестве R?
а) ;
б) ;
в) ;
г);
д) ;
e) ;
ж) ;
и) .
Привести пример антирефлексивного, антисимметричного и транзитивного отношения на множестве R .
Какими свойствами обладают отношения: ху, х||уна множествепрямых?
Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество
Приведем таблицу классификации отношений по их свойствам:
Реф-ть |
Сим-ть |
Антисим-ть |
Асим- ть |
Транз-ть |
Связ- ть |
Название |
+ |
+ |
|
|
+ |
|
Отношение эквивалентности |
|
|
|
+ |
+ |
|
Отношение строгого порядка |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
Отношение нестрогого порядка |
|
|
|
+ |
+ |
+ |
Отношение линейного порядка |
П р и м е р ы: Отношение на множестве R ― нестрогого порядка, ― строгого порядка, х = у ― отношение эквивалентности.
Систему S непустых подмножеств заданного множества A будем называть разбиением множества А, если каждый элемент множества А принадлежит одному и только одному подмножеству из системы S. Подмножество из S называются смежными классами разбиения S.
С каждым разбиением S мы свяжем бинарное отношение φ на множестве А, полагая, по определению, тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному и тому же смежному классу множества А.
Изобразим множествоА в виде квадрата, а смежные классы ― в виде прямоугольников, на которые разбивается квадрат. Имеем, что тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному и тому же прямоугольнику. Ясно, что отношение является отношением эквивалентности. Оно называется отношением эквивалентности, отвечающим разбиению S.
Совокупность всех смежных классов множества А по отношению эквивалентности обозначается через и называется фактор-множеством от А по .
Однозначное отображение , при котором каждый элемент переходит в содержащий его смежный класс , называется каноническим отображением А на .
Упражнения
Доказать, что всякое симметричное, транзитивное, всюду определенное отношение является отношением эквивалентности.
Построить отношение эквивалентности на множестве Z.
Доказать, что отношение на множестве Z есть отношение эквивалентности. Построить фактор-множество по этому отношению.
Найти фактор-множество , если:
а) , ;
б) «x и y имеют одинаковые остатки при делении на 7», .
Доказать, что любые два смежных класса из фактор-множества общих элементов не имеют.