3.2 Объемы тел вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) (где ахb), отрезком аb оси Ох и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле

(3)

Пример 15. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной парабо­лой y²=2х, прямой х=3 и осью Ох.

Решение. Применяя формулу (3), находим

V = 9 куб. ед.

Пример 16. Вычислить объем шара радиуса R .

Решение. Шар образован вращением вокруг оси Ох круга, ограниченного окружностью x²+y²=R² с центром в начале координат и радиусом R. Учитывая симметрию круга относительно оси координат, сначала найдем по формуле (3) половину искомого объекта:

куб. ед.

Следовательно, куб. ед.

Пример 17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и полуволной синусоиды y = sin x (0х).

Решение. Применяя формулу (3), находим

куб. ед.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой x=f(y) (где ayb), отрезком ab оси Oy и отрезками прямых у=а и у=b, вычисляется по формуле

(4)

Пример 18. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной пара­болой у=х² и прямой у=4.

Решение. Применяя формулу (4), находим

V=8 куб. ед.

Пример 19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной парабо­лой у=х²+1 и прямой у=2.

Решение. Объем полученного тела (оно называет­ся параболоидом) вычислим по формуле (4):

куб. ед.

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Перечислите основные свойства определенного ин­теграла.

3. В чем заключается геометрический смысл опреде­ленного интеграла?

4. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

5. По каким формулам находится объем тела враще­ния?

6. Напишите формулу для вычисления пути, пройден­ного телом.

7. Напишите формулу для вычисления работы пере­менной силы.

8. По какой формуле вычисляется сила давления жидкости на пластинку?

9. Вычислите определенные интегралы:

а) б)в)г)

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной лини­ями: а) у = х²+1, у=0, х= 2, х=1; б) х²-9у = 0 и х3у+6 = 0.

11. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у²=х, прямой х=2 и осью Ох.

12. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у²=х, прямыми у=1, у=4 и осью Оу.

О т в е т ы. 9. a) 19; 6) 4e; в) 8/3; г) 2/9. 10. а) 6 кв. ед.; б) 13,5 кв. ед. 11. 2 куб. ед. 12. 12 куб. ед.

Литература

1. Баврин И.И. Курс высшей математики. – М: Просвещение, 1992. – 413с.

2. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М: Айрис:Рольф, 1996. – 287с.

3. Высшая математика для экономистов / под редакцией Н. Кремера. – М: Банки и биржа, 1997. – 439с.

4. Данко П.Е, Попов А.Г, Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. I. – М: Высшая школа, 1980. – 320с.

5. Задачник – практикум по высшей математике: Множества. Функции. Предел. Непрерывность. Производная / под редакцией Волкова В.А. – Л: ЛГУ, 1988. – 222с.

6. Колесников А.И. Краткий курс математики для экономистов. – М: Инфа-М, 1997. – 208с.

7. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М: Инфа-М, 1998. – 464с.

8. Лихтарников Л.И, Поволоцкий А.И. Основы математического анализа. – изд-во Лань, 1997. – 304с.

9. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – изд-во Лань, 1999. – 736с.

10. Общий курс высшей математики для экономистов / под редакцией В.И. Ермакова. – М: Инфра-М, 2001.- 656с.

11. Подольский В.А, Суходский А.М, Мироненко Е.С. Сборник задач по математике. – М: Высшая школа, 1999. – 495с.

12. Сборник задач по высшей математике для экономистов / под редакцией В.И. Ермакова. – М: Инфра-М, 2001.- 575с.

13. Сяськина Н.Г, Цыренжапов Н.Б. Высшая математика. – У-У: ВСГАКИ, 2000. – 99с.

14. Щипачев В.С. Высшая математика. - М: Высшая школа, 1996. - 479с.