§51. Застосування теореми Остроградського-Ґаусса до розрахунку електричних полів

За допомогою теореми Остроградського-Ґаусса в окремих випадках набагато простіше, ніж за формулами для напруженості точкового заряду та принципу суперпозиції, знаходити напруженість електричних полів.

Розглянемо декілька прикладів.

І. Електростатичне поле у вакуумі нескінченної зарядженої площини.

Нехай площина Pзаряджена рівномірно з поверхневою густиною заряду(рис. 112). Для визначення напруженості поля у будь-якій точціАпроведемо через цю точку і симетричну їй точкуВдві площини, які паралельні до площиниP. Побудуємо нескінченно вузький циліндр, основи якогоdSпроходять через точкиАіВ, а його твірна паралельна до ліній напруженості поля.

З рис. 112 видно, що потік вектора напруженості через замкнену поверхню циліндра дорівнює сумі потоків через основи циліндра, тому що потік через бічну поверхню дорівнює нулю (лінії напруженості ковзають вздовж бічної поверхні). Оскільки напрямки векторів тазбігаються з напрямками нормалей, то потоки через основиdSбудуть більші від нуля і числово рівні, оскільки площинитазнаходяться на однаковій віддалі. Отже, потік вектора напруженості через замкнену поверхню циліндра дорівнює:

.

Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса

.

Порівнюючи ці два вирази, отримуємо

.

Оскільки напруженість поля Ене залежить від довжини циліндра, то електричне поле рівномірно зарядженої площини однорідне.

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками QiNцього поля, що лежать на відстаняхтавід площиниP. Оскільки,

, то.

Проінтегруємо це рівняння по хв межах віддо. Позначимо потенціали в точкахQiN черезта. Тоді:

; ;

.

II. Електростатичне поле між двома паралельними нескінченними площинами, зарядженими різнойменно.

Нехай маємо дві нескінченні, різнойменно заряджені площини, але з однаковими поверхневими густинами зарядів та(рис. 113).

З рис. 113 видно, що зліва від площинита справа від площининапруженості поля взаємно знищуються, оскільки вони напрямлені в протилежні сторони.

Між площинами напруженості полів мають однакові напрямки і тому тут результуюча напруженість Eдорівнює сумі напруженостейта, створених обома площинами:

.

Електричне поле двох різнойменно заряджених площин локалізоване в об’ємі між цими площинами і є однорідним.

Знайдемо різницю потенціалів між площинами: . Проінтегрувавши це рівняння похвідх=0дох=d(деd-віддаль між площинами), отримаємо:

.

Ііі. Електростатичне поле зарядженої сфери

Якщо на поверхні сфери радіуса рівномірно розподілено заряд (рис. 114),

то поверхнева густина заряду дорівнює

.

Розглянемо всередині сфери деяку точку Мна відстанівід її центра. З центраО проведемо допоміжну поверхню теж у вигляді сфери радіусаr. За теоремою Остроград­ського-Ґаусса обчислимо потік ліній напруженості крізь цю поверхню:

.

Оскільки всередині допоміжної поверхні радіуса немає зарядів, тобто і , то напруженість поля також дорівнює нулю:

.

Всередині зарядженої сфери електричного поля немає.

Для точок, які лежать зовні біля самої поверхні сфери, можна вважати, що . Тоді допоміжна поверхня – сфера радіусаrохоплює заряджену сферу. Зарядqміститься все­редині допоміжної поверхні і створює повний потік вектора напруженості:

.

Тоді

.

Для точок, що знаходяться на значній віддалі від поверхні зарядженої сфери , маємо

.

Графік залежності напруженості електричного поляEзарядженої сфери від відстаніrміж її центром і точкою, в якій визначають напруженість, подано на рис. 115.

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані і від центра сфери , дорівнює

.

Якщо прийняти і , то потенціал поля поза сферичною поверхнею

.

У випадку , а , поверхня за­рядженої сфери отримає потенціал

.

Оскільки всередині сфери електрич­ного поля немає , то для переміщення одиниці заряду з поверхні в будь-яку точку всередині сфери роботу проти сил поля виконувати не потрібно. Тому потенціал точок усередині зарядженої сфери дорівнює потенціалу її поверхні.