§50. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-Ґаусса

Основне завдання електростатики полягає в тому, щоб за заданим розподілом у просторі і величиною електричних зарядів знайти величину і напрямок вектора напруженості в кожній точці поля. Використання принципу суперпозиції для обчислення електричних полів пов’язано із значними математичними труднощами. Значно простіший метод розрахунку полів ґрунтується на використанні теореми Остроградського-Ґаусcа.

Нехай в однорідному електричному полі про­ведена довільна пло­щинаdS. Одиничний векторнормалі до площини складає з векторомкут(рис. 106).

Потоком вектора напруженості будемо називати величину

або,

де – проекція векторана напрямок вектора нормалі, а вектор.

Повний потік вектора напруженості через довільну поверхню S буде

.

Знак потоку залежить від вибору напрямку нормалі. Для замкнених поверхонь нормаль, яка виходить назовні, прий­мається за додатну. Тоді там, де вектор напрямлений назовні,тадодатні, а коливходить в середину поверхні,тавід’ємні (рис. 107).

Для замкнених поверхонь

.

Нехай навколо точкового заряду який знаходиться у вакуумі, описано довільну замкнену поверхнюS(рис. 108).

Лінії напруженості виходять з цієї поверхні. Виділимо довільну елементарну площадку dS, нормальдо якої складає кутз вектором. Спроектуємо елементdSповерхніSна поверхню радіусаrз центром в місці знаходження зарядуq.Тоді

Елементарний потік

,

а - тілесний кут, під яким елементарну площадкуdSвидно з точкового зарядуq.

Провівши інтегрування по куту, отримаємо

.

Якщо всередині замкненої поверхні буде негативний заряд q, то кут між нормаллю і векторомбуде тупий (лінії напруженості входять всередину замкненої поверхні). Отже,. Тоді. Це означає, що потік через замкнену по­верхню.

Нехай всередині замкненої поверхні SбудеNпозитивних і негативних зарядів (рис. 109). За принципом суперпозиції нап­руженістьполя, що створюється всіма зарядами, дорівнює сумі напруженостей, що створюється кожним зарядом зокрема і.Тому проекція векторана напрямок нормалі до площадкиdSдо­рівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх векторівна цей напрямок:

.

Потік вектора напруженості результуючого поля через довільну замкнену поверхню S, що охоплює заряди,, ..., дорівнює

.

Оскільки

,

то

.

Отже, потік вектора напруженості у вакуумі через довільну замкнену поверхню, яка охоплює електричні заряди, дорівнює алгебраїчній сумі цих зарядів, поділеній на електричну сталу .

Це твердження називається теоремою Остроградського-Ґаусса.

Наприклад, для системи зарядів, які наведені на рис. 109, потік напруженості

.

тут і.

Якщо замкнена поверхня Sне охоплює заряд q (рис. 110), то дотична до по­верхніSконічна поверхня з вершиною у точціО поділяє поверхнюSна дві частини: і . Потік напруженості через поверхнюSдорівнює алгебраїчній сумі потоків:

.

Потоки ідорівнюють один одному за абсолютною величиною, тому що поверхні і видно з точкиОпід тим самим тілесним кутом . Оскільки для всіх елементів поверхні кути між векторами і зовнішніми нормалями гострі, а для поверхні ці кути тупі, то

,

.

Тому сумарний потік через поверхню

.

Нехай заряд qзнаходиться всередині замкненої поверхніSі лінії напруженості перетинають цю поверхню кілька разів (рис. 111). Елементарний потік напруженості через площадки … дорівнює

Отже, непарне число перетинів при обчисленні потоку напруженості зводиться до одного перетину.