§49. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі. Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

Обчислимороботу сил електростатичного поля при переміщенні точкового заряду в однорідному полі, яке створене двома скін­ченими паралельними зарядженими площинами, розміри яких значно більші, ніж відстаньd між ними. Нехай позитивний зарядq переміщається силою поляF=qE з точок1,2і3в точку4(рис. 100).

Робота сил поля

.

Якщо заряд переміщається з точки 2в точку4, то робота

.

Підрахуємо тепер роботу переміщення заряду q із точки3в точку4. Ро­зіб’ємо кривунаnділянок, кожну з яких можна з великою точністю взяти за пряму. Тоді

.

Отже, робота при переміщенні заряду у трьох випадках однакова, хоча траєкторії руху заряду різні.

Розглянемо тепер електричне поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом qу вакуумі (рис. 101).

Нехай в електростатичному полі заряду qвздовж довільної траєкторії переміщується точковий зарядпід дією силиз точки1, що перебуває на відстанівід джерела поля в точку2на відстанівід нього. Робота силина елементарному переміщеннідорівнює:

.

Робота при переміщенні заряду з точки1в точку2дорівнює:

.

Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим (1) і кінцевим (2) положенням за­ряду. Отже,електростатичне полеточкового зарядує потенціальним, а елек­тростатичні сили – консервативними.

Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, то

.

Отже, потенціальна енергія заряду в полі зарядуqу вакуумі дорівнює:

.

Домовимось вважати потенціальну енергію заряду на нескінченно великій відстані від зарядуqрівною нулю. При W=0іC=0. Тому потенціальна енергія заряду, що перебуває на відстаніrвід точкового зарядуq, дорівнює

.

Якщо зарядитаqоднойменні, то потенціальна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) додат­на і зростає при зближенні цих зарядів (рис. 102). У випадку взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із зарядів до іншого.

Потенціальна енергія Wзаряду , що перебуває в полі точкових зарядів,, …, дорівнює сумі його потенціальних енергійWу полях, що створюються кожним зарядом зокрема:

,

де - відстань від заряду до заряду .

Величина є однакова для всіх зарядів в даній точці поля і називається потенціалом поля.

Потенціалом будь-якої точки електростатичного поля називають фі­зичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Одиниця потенціалу – вольт. 1B- це потенціал такої точки поля, в якій заряд величиною1 Клволодіє потенціальною енергією в1 Дж.

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом qу вакуумі, дорівнює:

.

Роботу, яку виконують електростатичні сили при переміщенні заряду від точки1до точки2електростатичного поля, можна записати так:

,

де та -потенціали електростатичного поля в точках1та2.

Якщо з точки з потенціалом зарядвіддаляється в нескінченність, то робота сили поля буде дорівнювати. Звідси

.

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил елек­тростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

.

Наприклад, потен­ціал поля в точціМ (рис. 103), яке ство­рене зарядами ,,,дорівнює

.

Електричне поле можна описати або за допомогою векторної величини , або за допомогою скалярної величиниφ. Очевидно,що між цими величинами повинен існувати зв’язок.

Нехай в електростатичному полі знаходиться заряд q. Робота при переміщенні цього заряду вздовж осіОХ між двома нескінченно близькими точками дорівнює:

.

З іншого боку, елементарна робота при переміщенні заряду qв електростатич­ному полі виражається через потенціали цього поля:

.

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримуємо:

,.

Знак „ – ” означає, що під дією сил електричного поля додатній заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей OY іОZ:

; .

Отже, ми знайшли та – компоненти вектора напруженостіE:

.

Це рівняння можна переписати так:

.

У векторному аналізі градієнтом скалярної величини φназивається така векторна величина, для якої справедливий запис:

.

Отже,

.

Знак „ – ” вказує на те, що вектор нап­руженості поля напрямлений в бік най­швидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.

Знаючи потенціал φв кожній точці поля, за формулоюможемо обчислити напруженість в кожній точці поля.

Можна розв’язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кож­ній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.

Робота при переміщені заряду з точ­ки 1 в 2дорівнює:

,

але, з іншого боку,

.

Звідси

.

Інтеграл можна брати вздовж довільної лінії, яка з’єднує точки 1та2, оскільки електростатичне поле є консервативне.

При обході по замкненому контуру заряд потрапляє в кінцеву точку поля, яка збігається з початковою і , отже

.

Цей інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості вздовж замкненого контуру (рис. 104).

Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкненого контуру дорівнює нулю.

Векторне поле називається по­тенціальним, якщо циркуляція векторавздовж довільного замкненого контуру дорівнює нулю.

Геометричне місце точок з однаковим потенціалом називається еквіпотенціальною поверхнею.

Для еквіпотенціальних поверхонь:

.

При переміщенні по еквіпотенціальній поверхні на відрізок dlпотенціал не змінюється, а, отже, і робота

.

Звідси

.

Оскільки

;, то.

В результаті кут між Eтаdlдорівнює.

Вектор напруженості електрич­ного поля в кожній точці напрямлений перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Еквіпотенціальні поверхні точкового заряду – це сферичні оболонки навколо нього (рис. 105) .