4.3. Стійкість імпульсних систем

Загальний вигляд рівняння руху імпульсної системи, що знаходиться під впливом вхідної дії.

/1/

Тоді, в розгорнутому вигляді рівняння /1/ буде:

/2/

Загальний розв’язок рівняння:

/3/

–вимушений рух системи; – вільний (власний) рух системи

Про стійкість судять за власним рухом системи, отже:

/4/

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді ,, тобтоз врахуванням /4/ має вигляд:

Після скорочення на u^T отримаємо:

/5/

Позначивши u^T=Z, отримаємо характеристичне рівняння вільного руху імпульсної системи.

/6/

Розв’язок рівняння /6/ має вигляд:

/7/

–корені характеристичного рівняння

–постійні коефіцієнти, що визначаються з початкових умов.

Розв’язок рівняння /7/ буде сходитися, а система, що має характеристичне рівняння /6/ буде стійкою, якщо

/8/

Ця умова виконується тоді, коли кожен доданок /7/ задовільняє умові , а це буде тоді, коли всі корені по модулю менші одиниці.

при

Таким чином, необхідною і достатньою умовою стійкості імпульсної системи є умова для всіх коренів характеристичного рівняння, що відповідає різницевому рівнянню системи.

Враховуючи, що , перетворимо площину комплексної змінноїр в комплексну площину коренів z (рис.4.4).

Рис. 4.4.

Список літератури до розділу 4:

1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Изд-во “Мир”, 1978. – 834с.

2. Дьяконов В.П. VisSim+Mathcad+MATLAB. Визуальное математическое моделирование. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004. – 384с.

3. Артюшин Л.М. та ін. Теорія автоматичного керування. Навч. посібник.- Львів: Вид-во УАД, 2004. – 272с.

4. Чаки Ф. Современная теория управления. – М.: Мир, 1975. – 424с.

77