15. Рух по колу (спрощений підхід)

15.1. Радіус повороту — кут повороту — кут збочення

На рис. 15.1 показаний чотириколісний автомобіль. Кузов спрощено представлений рамою у формі літери Н. Передні колеса можуть повертатись

Рис. 15.1 Схема руху по колу з центром M ≡ Q чотири-колісного автомобіля

водієм за допомогою кермового керування. До того ж як передні так і задні колеса можуть підлягати незначному повороту під впливом сил і моментів внаслідок застосування еластичних шарнірів підвіски коліс. Також у випадку нахилів кузова під дією відцентрової сили кінематика підвісок спричинює зміни кутів повороту коліс.

Виведемо геометричні залежності. У випадку руху по колу зі сталою швидкістю миттєвий центр повороту Q і центр кривини M співпадають, тож можна визначити його положення на підстав напрямів швидкості двох точок кузова. Вважаємо відомими напрями швидкостей точок кузова, що лежать посередині передньої і задньої осей. Ці напрями задані кутами κ₁ і κ₂ відносно поздовжньої осі кузова. За теоремою синусів для даної бази l отримуємо радіуси повороту передньої осі ρ₁ і задньої осі ρ₂

.

(15.1)

Відношення радіусів становить

.

(15.2)

В загальному випадку значення κ₁ і κ₂, які відносяться до середини осі, не є відомі. Натомість відомі кути κ_1з і κ_1в зовнішнього і внутрішнього передніх коліс, відповідно κ_2з і κ_2в зовнішнього і внутрішнього задніх коліс. Ці кути складаються з кута повороту колеса μ_j і кута збочення шини β_j, що на прикладі зовнішніх коліс ілюструє рис. 15.2.

Рис. 15.2. Кут повороту колеса μ, кут збочення β і радіус повороту ρ для зовнішніх переднього (а) і заднього (б) коліс

Для окремих коліс отримуємо залежності: для передніх

(15.3)

і для задніх

.

(15.4)

За рис. 15.3 між кутами κ_2з, κ_2в і κ₂ існують залежності

.

Використовуючи ці три рівняння, отримуємо для задньої осі

(15.5)

Рис. 15.3. Виведення кінематичних залежностей між зовнішнім (з) і внутрішнім (в) колесами

і за аналогією для передньої осі

.

(15.6)

Рівняння (15.1), (15.2), (15.5) і (15.6) точно описують залежності між радіусами повороту і кутами повороту та збочення коліс. Зазвичай кути κ_j є малі і це означає, що радіуси повороту є великі стосовно розмірів автомобіля, тож можна підставити . В такий спосіб в обох перших рівняннях стирається різниця між радіусами

,

(15.7)

а на підставі рівнянь (15.5) і (15.6) та (15.3) і (15.4) отримуємо

(15.8)

Введення середніх арифметичних значень зовнішнього та внутрішнього кутів повороту коліс

	(15.9)
	(15.10)

та застосування рівнянь (15.7) і (15.8) дає важливий вираз для радіуса повороту

.

(15.11)

Для подальших обчислень ще потрібна буде залежність між кутами і радіусами повороту зовнішнього і внутрішнього коліс. За рис. 15.3

.

Різниця між обома радіусами може бути максимально рівна колії, тож для великих радіусів і для малих кутів. На підставі рівнянь (15.3) і (15.4) для суми кутів повороту і збочення це означає, що

,	(15.12)
.	(15.13)

15.2. Поворот коліс без врахування збочення

Якщо автомобіль рухається по колу радіусом ρ з такою малою швидкістю v, що і доцентрове прискорення v²/ρ є мале, то дією відцентрової сили на центр мас можна знехтувати. В зв’язку з цим суму всіх складових реакцій, тобто бічних сил, що виникають між колесами і дорогою в напрямі відцентрової сили, вважатимемо рівною нулю (рис. 15.4). Загалом це не означає обов’язкову рівність нулю окремих бічних сил, як це показано на прикладі автомобіля з прямолінійним рухом (рис. 15.4б). Сходження коліс, тобто протилежні кути повороту передніх коліс, спричинює збочення шин. Виникають тут кути збочення коліс, а в зв’язку з цим і бічні сили, сума яких в напрямі перпендикулярному до осі автомобіля дорівнює нулю. Їх сума в напрямі паралельному до осі автомобіля дає силу опору сходження коліс, мова про яку була в підрозділі 5.1 [2].

Тепер розглянемо задачу, як мають бути повернуті колеса у разі руху по колу з нехтувально малим доцентровим прискоренням v²/ρ, при якому

Рис. 15.4. Бічні сили на колесах спричинені дією відцентрової сили m∙v2/ρ під час руху по колу (а) і бічні сили Y1 на передніх колесах під час прямолінійного руху, що виникають з кутів сходження β1

водночас всі кути збочення коліс β_j, відповідно всі бічні сили мають бути рівні нулю. Це має таке практичне значення, що коли відсутні кути збочення, відсутнє також зношування шин внаслідок деформацій і проковзувань. Колеса обертаються без напружень, що викликаються реакціями.

Виконання умови вимагає, аби для довільного радіуса повороту колеса були повернуті так, щоби перпендикуляри до напряму руху коліс перетинались в одній точці, центрі кола М (рис. 15.5а).

Рис. 15.5. Необхідні кути повороту коліс μ у випадку кочення без бічних сил і швидкості руху v = 0 для всіх керованих коліс (а) та передніх керованих коліс (б)

У випадку автомобіля з передніми керованими колесами і жорсткими шарнірами підвіски задніх коліс центр повороту знаходиться на продовженні осі задніх коліс (рис. 15.5б).

Кути повороту керованих коліс можна визначити за рівняннями з підрозділу 15.1 чи безпосередньо на підставі рис. 15.5б

.

(15.14)

З їх суми чи різниці

,	(15.15)
	(15.16)

можна визначити для даного μ_1в відповідне йому μ_1з.

Поки ще не були відомі графічні залежності бічної сили від кута збочення, розгляд кутів повороту керованих коліс за допомогою рівнянь (15.14)−(15.16) займав важливе місце в автомобільній техніці і відносився до теми „Геометрія кермового керування”.

На рис. 15.6 представлена залежність, виниклого з кінематики, теоретичного кута повороту коліс за рівнянням (15.14) від характеристичних лінійних вимірів.

Рис. 15.6. Кут повороту μ зовнішнього і внутрішнього передніх коліс в залежності від радіуса повороту ρ2, колії передніх коліс s1 і бази l (за умови кочення без бічних сил, v = 0)

15.3. Необхідна ширина дороги

Якщо автомобіль шириною b їде по колу радіусом ρ₂, на виконання повороту йому потрібна за рис. 15.7 поверхня кільця шириною B, при чому . У випадку тісних поворотів — їзда по вулицях міста, в’їзд до гаражу чи на подвір’я, розворот — ширинаB є велика і не повинна перевищувати ширини, встановленої приписами. Оскільки такі тісні повороти здійснюються з малою швидкістю, можна знехтувати відцентрову силу і для визначення необхідної ширини B скористатись попередньо виведеними залежностями з геометрії системи керування.

Тож на рис. 15.7 центр кола M лежить на продовженні задньої осі. Радіуси кільця і його ширину отримуємо з залежностей

;

(15.17)

;	(15.18)
.	(15.19)

Рис. 15.7. Необхідна ширина дороги B для двовісного автомо-біля під час руху по колу

Звідси виникає, що необхідна ширина дороги зовсім не залежить від розміщення передньої осі автомобіля, а, отже, і від величини бази l, так як завжди .

Для даної ширини B, заданої через l_к, максимальна довжина автомобіля могла би становити 2∙l_к, причому задній звіс l_з був би тоді рівний l_к. З обґрунтованих причин не є це законодавчо дозволене, бо, наприклад, коли би пішохід, якого минув перед автомобіля, ввійшов до середини кола радіусом ρ_max, міг би бути через мить збитий задньою частиною цього ж автомобіля, що рухається по радіусу ρ_max.

Подальший розрахунковий підхід при визначенні необхідної ширини дороги не є раціональний, бо заокруглення передньої частини кузова (чи скісні зрізи тягача на рис. 15.8) важко врахувати. Швидше можна досягнути результату графічно, особливо для автопоїздів: причіпного (рис. 15.8) чи сідельного (рис. 15.10).

Якщо для даного автомобіля необхідна ширина дороги виходить більша, ніж дозволена, а зменшення розмірів було враховане раніше, належить застосувати більшу кількість керованих осей. Як приклад на рис. 15.9 показано зменшення необхідної ширини дороги B для одиночного автомобіля

	Рис. 15.8. Необхідна ширина дороги для причіпного автопоїзда
Рис. 15.9. Зменшення необхідної ширини дороги B через застосування всіх керованих коліс двовісного автомобіля (б) у порівнянні до автомобіля з керованими передніми колесами (а)
Рис. 15.10. Зменшення необхідної ширини дороги B через застосування керованих коліс у напівпричепі (б) у порівнянні з напівпричепом без керованих коліс (а)

через застосування тільки керованої осі. На рис. 15.10 порівняно два сідельних автопоїзди з некерованою і керованою віссю напівпричепа.

15.4. Надлишкова і недостатня поворотність

Характеристичною властивостю шин є — за однакового коефіцієнта зчеплення в бічному напрямі вони можуть давати різні величини кутів збочення в залежності від навантаження коліс. Зазвичай на більш навантажених колесах виникають більші кути збочення, ніж на менш навантажених колесах.

Різниця кутів збочення впливає на поведінку автомобіля під час руху, що видно з рівняння (15.11), в якому виступає різниця .

.

(15.18)

(Кут повороту задніх коліс ). У випадку автомобіля з більш навантаженою задньою віссюця різниця є за рис. 15.10 від’ємна.

Рис. 15.10. Різниця кутів збочення як функція відносного доцентрового прискорення для автомобілів з різним положенням центра мас

Це означає, що за даного кута повороту коліс μ₁ радіус повороту буде менший. У випадку руху по дорозі, на якій радіус кривини визначає смугу руху, кут повороту коліс автомобіля з більш навантаженою задньою віссю мусить бути зменшений. Якщо водій цього не вчинить, автомобіль проявляє надлишкову поворотність, тобто рухається по меншому радіусу.

Якщо центр мас лежить перед серединою бази (), тож на рис. 15.5 отримуємо додатну різницю. Це означає, що у разі зростання швидкості руху водій повинен збільшити кут повороту коліс. Якщо він цього не вчинить, автомобіль проявляє недостатню поворотність, тобто рухається по більшому радіусу.

Поняття надлишкова і недостатня поворотність є дуже важливі. Залежать вони за рівнянням (15.18) від знаку різниці кутів збочення, який виникає з положення центра мас.

Взагалі існує ще багато інших параметрів автомобіля, які впливають на величину кутів збочення і їх різницю, тож до сьогочасні міркування треба вважати за неповні. Розглянемо тепер зміни кута повороту μ₁ передніх коліс. Якщо автомобіль з базою по дузі радіусом, тоді за швидкості рухукут повороту коліс за рівнянням (15.44) повинен становити. За сталого радіуса кут повороту μ₁ для за рівнянням (15.18) становить

.

(15.19)

На рис. 15.11 показані значення μ₁ для в залежності від швидкостіv. За малого доцентрового прискорення (швидкість руху до 50 км/год) зміна кута повороту коліс не є надто велика і правдоподібно непомітна для водія. За більших прискорень, а, отже, і більшої швидкості руху, відхилення від статичного значення очевидно будуть значні.

Рис. 15.11. Кут повороту передніх коліс μ1 в залежності від швидкості руху v за сталого радіуса повороту ρ для автомобілів з різним положенням центра мас (на підставі рис. 15.10)

Видно тут ще щось важливе. У випадку автомобіля з надлишковою поворотністю кут повороту коліс може бути навіть від’ємним. Це означає, що, наприклад, під час долання лівого повороту колеса повинні бути повернуті направо.

Зі збільшенням доцентрового прискорення сильно ростуть кути збочення. Зчеплення коліс може тоді досягнути чи перевищити граничне значення і автомобіль починає ковзати вбік. Відомо, що першою починає ковзати та вісь, на якій виникає більше бічне проковзування, а, отже, і більший кут збочення. У випадку автомобіля з надлишковою поворотністю спершу починається бічне ковзання задніх коліс, а у випадку автомобіля з недостатньою поворотністю — передніх.

На рис. 15.12 представлено границю зчеплення в функції положення центра мас. Як видно найбільше доцентрове прискорення, а, отже, і

Рис. 15.12. Максимально можливе до реалізації доцентрове прискорення в залежності від положення центра мас, отримане з рис. 15.14. Центр мас лежить на поверхні дороги

найбільша швидкість v за даного радіуса ρ можна реалізувати для автомобіля з центром мас посередині бази. Якщо центр мас знаходиться в іншому місці, тоді можливе до реалізації доцентрове прискорення буде менше, бо вісь з більшим кутом збочення раніше почне ковзати.

48