10. Одномасова система

10.1. Власні коливання, стабільність

Розглянемо одномасову систему з масою m, яка рухається в напрямі осі z (рис. 10.1). Випадок z = 0 відповідає статичному положенню рівноваги і означає, що статична деформація пружини під впливом ваги m∙g врахована.

Рис. 10.1. Одномасова система: а — система з масою m, жорсткістю пружини c і коефіцієнтом демпфування k, б — сили, що діють на систему (сила пружини Fп, сила демпфування Fд)

Рівняння руху має вигляд

,

(10.1)

де сила пружини

(10.2)

і сила демпфування

.

(10.3)

Ці сили пропорційні до відносного переміщення чи відносної швидкості, а також до коефіцієнтів:c — жорсткості пружини і k — сталої демпфера (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Лінійні характеристики: а — пружини; б — демпфера

Ця система є лінійною, бо, підставляючи рівняння (10.2) і (10.3) в рівняння (10.1), отримуємо лінійне диференціальне рівняння

.

(10.4)

Залежну від часу функцію h, відповідно , що знаходиться в правій частині рівняння і спонукає систему до коливань, будемо називати функцією збурення.

Загальний розв’язок z рівняння (10.4) складається з загального розв’язку z_о однорідного рівняння (права частина рівна нулю) і частинного розв’язку z_ч неоднорідного рівняння (права частина нерівна нулю)

.

(10.5)

В цьому розділі займатимемося розв’язуванням однорідного рівняння

.

Поділивши на m і ввівши позначення (будуть означені пізніше)

(10.6)

та

,

(10.7)

отримуємо

.

(10.8)

Розв’язок цього однорідного лінійного рівняння, відомий з математики, має вигляд

.

(10.9)

Розв’язок і його похідні іпідставляємо в рівняння (10.8)

.

(10.10)

В цьому рівнянні не може бути тотожно рівним нулю, бо рівняння (10.9) не описувало би тоді жодних переміщень z. Тож маємо

.

(10.11)

Це рівняння, зване характеристичним, має два розв’язки

.

(10.12)

і тим самим для переміщень за рівнянням (10.9)

.

(10.13)

Перебіг переміщень в часі характеризується обома значеннями λ. Можливі чотири різні випадки.

1. Значення є дійсним, тож повинно бути σ² > ν². До того ж σ є додатним, а λ₂ — від’ємним. Натомість λ₁ є тоді від’ємним, коли ν² > 0, бо тільки тоді .

В цьому випадку обидві складові рівняння (10.13) зменшуються до нуля, коли t прямує до нескінченості. Ця система, як показує рис. 10.3а, повертається до положення рівноваги . Рух є стабільний.

Переміщення	Монотонне дійсний	Осциляційне уявний
зменшується стабільне σ > 0, ν2 >0
збільшується нестабільне σ < 0, ν2 > 0 чи σ < 0, ν2 <0
Рис. 10.3. Корені характеристичного рівняння і відповідні реакції в часовій області

2. Натомість, коли ν² є від’ємне, то і λ₁ є додатним. Тоді разом з часом прямує до нескінченості, а— до нуля. Система не повертається до положення рівноваги, є нестабільною.

Нестабільні перебіги отримаємо також при дійсних значеннях , додатнім ν², але від’ємним σ. λ₁ і λ₂ тоді додатні, тож z_о прямує до нескінченості (10.3б).

Якщо ж σ і ν² від’ємні, отримаємо також нестабільний перебіг, бо λ₁ є додатне.

3. Якщо ν² > σ², значення кореня не є дійсне, а уявне. Позначимо , тож

.

Комплексним спряженим кореням характеристичного рівняння відповідають комплексні спряжені амплітуди

.

Переміщення, відповідні рівнянню (10.13), набувають вигляду

,

а після перетворення

.

Скориставшись рівнянням Ейлера

,

отримуємо

.

(10.14)

Це рівняння описує коливання, представлені на рис. 10.3в з круговою частотою , амплітуда яких для σ > 0 гасне за функцією. Рівняння (10.14) можна звести до вигляду

,

(10.15)

де амплітуда

,

(10.16)

а кут фазового зміщення

.

(10.17)

(Виведення буде представлене в підрозділі 10.2).

Такі власні гашені коливання характеризуються величиною σ, вирішальною щодо швидкості згасання коливань і названою коефіцієнтом демпфування

(дивись (10.6)),

а також круговою частотою власних гашених коливань

.

(10.18)

Якщо σ = 0, коливання не згасають і є негашені. Тоді є означена як кругова частота власних негашених коливань

(дивись (10.7)).

(10.18б)

Введемо наступну, часто подальше вживану, величину — безвимірний коефіцієнт демпфування

.

(10.19)

Підставляючи цю величину до рівняння (10.18), отримуємо залежність

,

(10.20)

графічним відображенням якої є коло (рис. 10.4). Якщо 0 < D < 1, то маємо справу з гашеними коливаннями, натомість для D > 1 отримуємо гашений аперіодичний рух (рис. 10.3а). У випадку коливань автомобілів D набуває значення порядку 0,25. З рис. 10.4 видно, що тоді .

4. Якщо значення кореня в рівнянні (10.12) є уявним, а σ < 0, отримуємо (як у випадку 3) коливання частотою , амплітуда яких не зменшується, а росте. Така система називається нестабільною (рис. 10.3г).

Рис. 10.4. Залежність відношення кругової частоти власних гашених коливань νg від безвимірного коефіцієнта демпфування

На рис. 10.3 представлені, відповідно впорядковані, монотонні і осциляційні перебіги, стабільні і нестабільні, а також відповідні критерії оцінки. На їх підставі можна остаточно ствердити, що система може бути стабільною тільки тоді, коли всі коефіцієнти характеристичного рівняння як σ, так і ν² є додатні.

Для коливних рухів, якими будемо займатись, а також для прикладу одномасової системи з рис. 10.1 виступатимуть завжди стійкі перебіги. Найчастіше будемо стикатись з гашеними коливаннями, для яких, як вже згадувалось, D ≈ 0,25. При обговоренні стійкості руху автомобіля (розділ 18) ознайомимось з нестабільними перебігами.

10.2. Вимушені коливання

Перейдемо тепер до неоднорідного рівняння (10.4) і знайдемо його частинний розв’язок за рівнянням (10.5). Цей розв’язок має велике значення у випадку стабільних систем, до яких належать підвіски автомобілів. З рівнянь (10.5) і(10.15) випливає, що через певний час переміщення системи залежать тільки від z_ч, бо z_о прямує до нуля.

Найчастіше як збурювальну застосовують гармонічну функцію

.

(10.21)

При знаходженні розв’язку зручніше записати збурювальну функцію (10.21) в комплексному вигляді, тож з’ясуємо основні засади цього перетворення.

Вектор довжиною b обертається з кутовою швидкістю ω в напрямі, прийнятому в математиці за додатній (рис. 10.5а). Проекція руху вектора на пряму дає образ гармонічного руху. Якщо на рисунку та пряма є вісь ординат, а відлік часу ведеться від осі абсцис, то отримуємо графік функції (рис. 10.5а). Натомість, коли ця пряма є віссю абсцис отримуємо графік функції , а при нахилі прямої до осі абсцис під кутом ψ — функцію.

Рис. 10.5. Гармонічний перебіг у векторній формі (а) і як функція часу (б)

Положення вектора на площині рис. 10.5а і його поворот можна записати за допомогою його координат. Для комплексних чисел застосовується система координат, в якій додатній напрям дійсної осі (Re) позначений через + 1, а додатній напрям уявної осі (Im) + i. В такий спосіб вектор на рис. 10.6 можемо описати за допомогою комплексних чисел, які для відміни будуть позначатись товстим друком

.

(10.22)

Рис. 10.6. Представлення вектора b з дійсною частиною bre і уявною частиною bim на комплексній площині

Довжина вектора і кут фазового зміщення ψ становлять:

,

.

Підставимо в рівняння (10.22) вирази

і

і на підставі рівняння Ейлера отримаємо

.

(10.23)

Якщо кут ψ є змінними в часі як, наприклад, на рис. 10.5, де , то обертовий вектор можна описати рівнянням

.

Це є частиний випадок, бо при вектор переходить через вісь абсцис, тож в загальному випадку векторb, якого кут складається зі сталої частини ψ і змінної частини ω∙t можна записати

і за рівнянням (10.23)

.

(10.24)

називається комплексною амплітудою, яка описує величину і положення вектора при.

Збурювальну функцію з рівняння(10.21) подається як проекція вектора на уявну вісь за рівнянням (10.24)

.

Аби спростити запис, вважатимемо відтепер, що проективною віссю є уявна вісь, і будемо писати тільки

.

(10.25)

Оскільки для лінійної системи з гармонічним збуренням отримані переміщення і сили будуть теж гармонічними, розв’язок неоднорідного рівняння можна подати у вигляді

.

(10.26)

Підставляючи (10.25) і (10.26) до рівняння (10.4), отримуємо

,

(10.27)

тож є можливість визначити a для даного b. Це рівняння з комплексними величинами можна відобразити на комплексній площині

Рис. 10.7. Векторний графік як відображення вимушених коливань одномасової системи за рівнянням (10.27)

Вважаючи довжину вектора a відомою, відкладемо її та її помножену на с на дійсній осі. З кінця отриманого вектора перпендикулярно відкладаємо вектор k∙ω∙a. Тоді знову перпендикулярно, у від’ємному напрямі дійсної осі, відкладемо вектор m∙ω²∙a. Рівнодійна цих трьох векторів повинна бути за рівнянням (10.27) рівна . Оскільки та взаємно перпендикулярні, легко визначити , а потім . Видно, що на комплексній площині вектори a і b мають різні довжини та між ними виникає кут фазового зміщення ψ.

На рис. 10.8 показана залежність довжин векторів a і b для різних значень ω. З цього векторного поля можна визначити |b| та ψ. Залежність відношення

Рис. 10.8. Векторний графік за рівнянням (10.27) для різних частот збурення

амплітуд |a/b| = a/b та кута фазового зміщення ψ від частоти збурення ω представлено на графіку рис. 10.9. Відношення a/b часто називається коефіцієнтом підсилення, а залежність a/b від ω — амплітудно-частотною характеристикою.

Рис. 10.9. Резонансна характеристика: коефіцієнт підсилення a/b і кут фазового зміщення ψ в функції відношення частоти збурення ω до частоти власних коливань ν для одномасової системи з безвимірним коефіцієнтом демпфування D = 0,2

Для ω = 0 отримуємо a = b і ψ = 0. Для ω, близьких частоті власних коливань ω ≈ ν, в зоні резонансу a досягає максимуму, а при подальшому зростанні ω — прямує до нуля.

Вираз для коефіцієнта підсилення в комплексному вигляді можна

отримати з рівняння (10.27)

.

З врахуванням , де частота власних коливань за рівнянням (10.7), а безвимірний коефіцієнт демпфування за рівнянням (10.19), отримуємо

.

(10.28)

Тож коефіцієнт підсилення є залежним від двох безвимірних величин: коефіцієнта демпфування D і відношення частот η. Застосовуючи загальний запис

,

отримуємо коефіцієнт підсилення

(10.29)

і фазового зміщення

.

(10.30)