- •С.Г.Савчук
- •Передмова
- •Передмова до другого видання
- •Список літератури
- •1.2. Математичні та фізичні моделі Землі.
- •1.3. Системи координат, що застосовуються у вищій геодезіі.
- •1.4. Основи теорії поверхонь.
- •Розділ 2 геометрія земного еліпсоїда
- •Таблиця 2.1
- •2.3.1. Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами.
- •2.3.2. Зв’язки між різними видами координат.
- •З використанням введених позначень, формулу (1.8) із розділу 1, запишемо у виді
- •Рис 2.8
- •На основі (2.60) отримаємо
- •Розділ 3 розв’язування геодезичних задач
- •3.1. Види геодезичних задач.
- •3.2. Короткі історичні відомості.
- •3.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників.
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 3.1
- •Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії
- •Б) за теоремою Лежандра
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •В) за способом аддитаментів
- •Позначивши
- •Г) за виміряними сторонами
- •3.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач а) на поверхні сфери
- •Б) на поверхні еліпсоїда
- •В) в просторі
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.7.1.Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.
- •Обернена геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.5. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта) а) алгоритм
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •Б) числовий приклад
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.6. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач в просторі.
- •Обернена геодезична задача
- •Розділ 4 плоскі прямокутні координати гаусса-крюгера
- •4.1. Плоскі координати в геодезії.
- •4.4. Перетворення полярних координат.
- •4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера
- •4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів
- •4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції
- •Таблиця 4.2
- •Таблиця 4.3
- •Таблиця 4.4
- •Таблиця 4.5
- •Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо
- •Таблиця 4.6
- •Таблиця 4.11
- •4.8. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону.
- •Розділ 5 основи теоретичної геодезії
- •5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле
- •5.2.1. Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.2. Гравіметричні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.3. Інтерполювання відхилень прямовисних ліній
- •5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)
- •5.3.1. Астрономічне нівелювання
- •5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання
- •5.4. Система висот в геодезії
- •5.4.1. Поняття висоти
- •5.4.1. Ортометричні висоти
- •5.4.3. Нормальні висоти
- •5.4.4. Динамічні висоти
- •5.5.1. Поняття про редукційну задачу
- •5.5.2. Редукування лінійних вимірів
- •5.5.3. Редукування виміряних горизонтальних напрямів
- •5.6.1. Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями
- •5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат
- •5.6.3. Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі
5.6.1. Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями
Класичне градусне вимірювання полягало у вимірюванні методом тріангуляції лінійної відстані між деякими пунктами, розташованими, по можливості, вздовж земного меридіана або паралелі, та астрономічних визначень на цих пунктах.
Із опрацювання тріангуляції визначались відстані між паралелями або меридіанами пунктів градусного вимірювання, тобто відрізки дуг меридіана або паралелі, як деякі окремі дуги, які при геодезичному зв’язку між собою складали загальну дугу градусного вимірювання по меридіану або по паралелі. Тому і метод виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями називався методом дуг [7].
Кожне окреме градусне вимірювання опрацьовувалося наступним чином. Один з пунктів цього градусного вимірювання приймався за початковий або вихідний пункт. Астрономічні координати цього пункту і, так приймалося, дорівнювали геодезичним координатамі. На поверхні прийнятого еліпсоїда з наближеними параметрамиіпри вказаному його орієнтуванні в тілі Землі (,,) обчислювались геодезичні координативсіх решта пунктів градусного вимірювання з астрономічними широтамиі довготами, використовуючи при цьому відстані між цими пунктами, які були віднесені тільки на поверхню геоїда, та передачі астрономічного азимутачерез виміряні горизонтальні напрями. Після чого визначалися розміри земного еліпсоїдаіна основі рівнянь градусних вимірювань.
Рівняння градусного вимірювання дуги меридіана, яка складається із окремих дуг, має наступний вигляд
(5.55)
А рівняння градусного вимірювання дуги паралелі під широтою представлялося у такому вигляді
(5.56)
В цих рівняннях:
- складові відхилення прямовисних ліній в меридіані та першому вертикалі відповідно, верхнім індексом позначені ті величини, що відносяться до еліпсоїда з параметрамиі. Вільні члени в рівняннях (5.55) - та (5.56) -є різницями виміряних астрономічних і геодезичних координат. Фактично це є значення відхилень прямовисної лінії в площинах меридіана і першого вертикалу, отримані із спостережень. Ліві частини цих рівнянь є відхиленнями прямовисної лінії у вказаних площинах від нормалі до поверхні еліпсоїда, параметри якого ми шукаємо.
Коефіцієнти при невідомих іє відомими функціями геодезичних координат вихідного пункту і того даного пункту, для якого рівняння градусних вимірювань повинні бути складені. Залишається від складених рівнянь перейти, згідно правил способу найменших квадратів, до двох нормальних рівнянь для знаходження невідомих.
З початком ХХ ст. склад градусних вимірювань змінився. Побудова суцільних геодезичних мереж у межах значних територій привела до того, що градусні вимірювання набули площадного характеру. Градусні вимірювання вже не були вимірюваннями окремих або ізольованих дуг меридіанів і паралелей, а репрезентували великі астрономо-геодезичні мережі. В зв’язку з цим змінилися і методи виводу розмірів земного еліпсоїда із градусних вимірювань. Почав застосовуватися так званий метод площ, який став подальшим розвитком та узагальненням методу дуг [7].
Рівняння методу площ подібні до (5.55) і (5.56) і є, за своєю суттю, рівняннями відхилення прямовисної лінії в площині меридіана за визначенням широти, відхилення прямовисної лінії в площині першого вертикалу за визначенням довготи і відхилення прямовисної лінії в площині першого вертикалу за визначенням азимута в даному пункті відповідно [7]. Склавши рівняння для всіх астрономічних пунктів даної геодезичної мережі та використовуючи чисто астрономо-геодезичні дані, розв’язують їх далі за способом найменших квадратів, тобто під умовою
. (5.57)
Визначенню підлягають: поправки до параметрів прийнятого еліпсоїда та складові відхилення прямовисних ліній у вихідному пункті.
Очевидним є те, що при такому підході відхилення прямовисних ліній мають носити випадковий характер, а, відповідно, і відступи геоїда від нового еліпсоїда теж будуть розглядатися як випадкові. Не підлягає дискусії і те, розміри якого еліпсоїда при цьому визначаються, звичайно, референц-еліпсоїда.
Зважаючи на очевидний прогрес у цьому питанні з появою методу площ, потрібно відзначити, що суттєвого покращення точності виводу параметрів земного еліпсоїда без широкого використання гравіметричних даних не відбулося.