- •С.Г.Савчук
- •Передмова
- •Передмова до другого видання
- •Список літератури
- •1.2. Математичні та фізичні моделі Землі.
- •1.3. Системи координат, що застосовуються у вищій геодезіі.
- •1.4. Основи теорії поверхонь.
- •Розділ 2 геометрія земного еліпсоїда
- •Таблиця 2.1
- •2.3.1. Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами.
- •2.3.2. Зв’язки між різними видами координат.
- •З використанням введених позначень, формулу (1.8) із розділу 1, запишемо у виді
- •Рис 2.8
- •На основі (2.60) отримаємо
- •Розділ 3 розв’язування геодезичних задач
- •3.1. Види геодезичних задач.
- •3.2. Короткі історичні відомості.
- •3.4.1. Розв’язування сфероїдних трикутників.
- •Сферичний надлишок
- •Таблиця 3.1
- •Способи розв’язування малих сфероїдних трикутників а) за формулами сферичної тригонометрії
- •Б) за теоремою Лежандра
- •Згідно теореми Лежандра, значення кутів плоского (лежандрового) трикутника буде
- •В) за способом аддитаментів
- •Позначивши
- •Г) за виміряними сторонами
- •3.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач а) на поверхні сфери
- •Б) на поверхні еліпсоїда
- •В) в просторі
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.5. Диференційні формули.
- •3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії.
- •3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору.
- •3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат.
- •3.7.1.Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.
- •Обернена геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.5. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта) а) алгоритм
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •Б) числовий приклад
- •Пряма геодезична задача
- •Обернена геодезична задача
- •3.7.6. Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач в просторі.
- •Обернена геодезична задача
- •Розділ 4 плоскі прямокутні координати гаусса-крюгера
- •4.1. Плоскі координати в геодезії.
- •4.4. Перетворення полярних координат.
- •4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера
- •4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів
- •4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції
- •Таблиця 4.2
- •Таблиця 4.3
- •Таблиця 4.4
- •Таблиця 4.5
- •Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо
- •Таблиця 4.6
- •Таблиця 4.11
- •4.8. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону.
- •Розділ 5 основи теоретичної геодезії
- •5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле
- •5.2.1. Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.2. Гравіметричні відхилення прямовисних ліній
- •5.2.3. Інтерполювання відхилень прямовисних ліній
- •5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)
- •5.3.1. Астрономічне нівелювання
- •5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання
- •5.4. Система висот в геодезії
- •5.4.1. Поняття висоти
- •5.4.1. Ортометричні висоти
- •5.4.3. Нормальні висоти
- •5.4.4. Динамічні висоти
- •5.5.1. Поняття про редукційну задачу
- •5.5.2. Редукування лінійних вимірів
- •5.5.3. Редукування виміряних горизонтальних напрямів
- •5.6.1. Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями
- •5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат
- •5.6.3. Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі
4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера
Формули для обчислення координат
а) плоских прямокутних за геодезичними
При малій величині різниці довгот залежність між плоскими прямокутними координатами і геодезичними координатами для симетричних проекцій, якою є проекція Гаусса-Крюгера можна представити у вигляді наступних степеневих рядів:
(4.15)
де
а коефіцієнти в цих рядах є функціями тільки геодезичної широти .
Характерною особливістю рівнянь (4.15) є залежність абсциси від членів парної степені різниці довгот, а ординати - тільки від непарної степені цієї різниці. Такі рівняння ще називають рівняннями симетричних проекцій. Для таких проекцій дві точки еліпсоїда, що мають одинакову широту і одинакову за абсолютною величиною різницю довгот , після їх зображення на площині будуть мати одинакову абсцису та одинакову за абсолютною величиною ординату.
Знайдемо значення коефіцієнтів рівнянь (4.15).
Поскільки проекція має бути конформною, то поставимо вимогу, щоб рівняння зображення (4.15) задовільняли умови конформного зображення (4.3).
Підставимо в рівняння (4.3) часткові похідні рядів (4.15) . Тоді отримаємо
Із порівняння між собою в цих рівностях коефіцієнтів при одинакових степенях , знайдемо
З цих формул видно, що для отримання кожного наступного коефіцієнта необхідно знайти похідну попереднього коефіцієнта. Враховуючи, що
можна легко знайти всі коефіцієнти рядів (4.15).
Приведемо коефіцієнти рядів (4.15) в остаточному вигляді
(4.16)
Довжину дуги меридіана X від екватора до даної точки з широтою B можна обчислити за формулою (2.50)
(4.17)
де коефіцієнти A0,A2,A4,A6, що визначаються через параметри прийнятого еліпсоїда (див. ф-лу (2.50), для еліпсоїда Красовського мають наступні значення:
(4.18)
Формули (4.15) разом з (4.16)-(4.18) мають високу точність (до 0.001 м в і) та можуть застосовуватись для різниці довгот, тобто для системи шестиградусних зон. Щодо триградусних зон, то ці формули можна спростити, а саме: в формулі дляx можна не враховувати члени з та, а дляy - члени з та
(4.19)
Якщо виникає необхідність обчислення координат із меншою точністю, наприклад, до 1 м, то формули (4.19) з врахуванням коефіцієнтів для еліпсоїда Красовського можна спростити, а саме
(4.19’)
Відмітимо, що у наведених формулах координати іотримуємо в метрах, а аргументипри цьому потрібно виразити в радіанах.
б) геодезичних за плоскими прямокутними
Щоб отримати формули для обчислення геодезичних координат за плоскими прямокутними координатами, представимо функції (4.6) у вигляді рядів за степенями ординати , вважаючи її малою величиною. Для симетричних проекцій зображень ці ряди будуть мати вигляд
(4.20)
Всі коефіцієнти в цих рядах є функціями тільки абсциси .
Як видно із формул (4.20) і рис.4.4, при величинає широтою точки(рис.4.4).
Рис.4.4
Плоскими прямокутними координатами точки є, а геодезичними -.
Поскільки абсциса цієї точки рівна довжині дуги меридіана , то широтуможна знайти як функцію довжини дуги меридіана на основі формули (2.56)
де коефіцієнти для еліпсоїда Красовського будуть мати наступні значення
а коефіцієнти рядів (4.20) будуть тоді функціями широти .
Перейдемо до визначення коефіцієнтів в рядах (4.20). Підставимо в рівняння (4.7) часткові похідні рядів (4.20), де замість аргумента будем брати аргумент. Тоді отримаємо
Із порівняння між собою в цих рівностях коефіцієнтів при одинакових степенях , знайдемо
Для знаходження всіх необхідних коефіцієнтів застосовуємо послідовне диференціювання по довжині дуги меридіана , враховуючи при цьому, що
Остаточні значення коефіцієнтів рядів (4.20) мають наступний вигляд
(4.21)
Обчислені таким чином геодезичні координати будуть виражені в радіанній мірі. Точність цих формул така, що вони забезпечують в координатахпри розміщені точки на краю шестиградусної зони.