Navch._posibnuk_Ivaschyk

збільшення призведе до зменшення кінцевого ефекту на величину двоїстої оцінки. Додаткові коефіцієнти заміщення показують зменшення, а від’ємні – збільшення відповідних базисних значень при одиничному збільшенні небазисних змінних такого виду.

У наведеному прикладі такою невідомою величиною є SLK9, яка введена в обмеження, що моделює виконання договірних умов відносно випуску продукції четвертого виду. Додаткове збільшення випуску описуваного виду продукції на одну одиницю приведе до змін (стовпець SLK9 табл. 9.4). Випуск продукції другого виду зменшиться на 0,833 од., а інших залишиться без змін. Залишок токарного устаткування буде збільшено на 0,583, а фрезерного зменшиться на 5,0 люд.-год. і т.д. При цьому прибуток зменшиться на 320,0 грн.

9.2. Методи побудови компромісних планів

Багатокритеріальні задачі дуже часто трапляються при оптимізації складних динамічних систем, якою є економіка. Це пов’язано не тільки з формальними труднощами вибору та обґрунтуванням єдиного критерію, але і з багатоцільовим характером функціонування економічної системи, коли необхідно брати до уваги одночасно декілька показників ефективності (максимум прибутку, товарної та кінцевої продукції, рентабельності, мінімум собівартості і т. д.).

Відомо, що співпадіння екстремальних значень двох і більше критеріїв можливе лише при випадковому збігу обставин і в практичних розрахунках їх отримання малоймовірне. Тому виникає потреба у виборі такого варіанта, який був би однаково ефективним для множини найбільш приваблих критеріїв. Такі задачі називаються багатокритеріальними з векторним критерієм оптимальності.

При розв’язку задач окресленого класу необхідне виконання таких умов: обґрунтування множини критеріїв для конкретної задачі; кількісна оцінка відносної переваги критеріїв або побудова деякої шкали переваг; визначення умов можливого компромісу (вибір сценаріїв компромісу) та обґрунтування методу знаходження компромісного варіанта.

Множина можливих критеріїв визначається характерними властивостями економічному процесу і обґрунтовується на основі логічного аналізу. Після визначення необхідного набору критеріїв і їх відносної переваги можна перейти до вибору компромісного варіанта.

251

Умову компромісу можна сформулювати по різному: мінімізація відносних відхилень від оптимальних значень по всій множині критеріїв; фіксування одного з критеріїв на деякому рівні і подальша оптимізація за наступним критерієм і т. д.

Відповідно до умов формулювання компромісу розроблено методи знаходження розв’язків багатокритеріальних задач.

Сьогодні для одержання компромісних варіантів існує ряд методів, серед яких особливу увагу заслуговують методи В. Садовського, І. Никовського, І. Саскі, Х. Юттлера, методи послідовних поступок, відносного показника та ін.

Для знаходження компромісного плану з врахуванням двох рівнозначних критеріїв можна використати метод І. Никовського. Він дозволяє знайти такий компромісний варіант розв’язку, в якому відхилення кожного критерію від оптимального значення є рівновелике та мінімальне.

Алгоритм методу складається з певних кроків. На першому кроці знаходимо розв’язок задачі за кожним критерієм окремо, тобто

max Z1 = Z1 і max Z2 = Z2 .

На другому кроці в систему обмежень моделі вводиться додаткова умова, яка вимірює відхилення кожного критерію від оптимального значення:

У нашому випадку задача розв’язується на максимум, тому додаткову умову можна записати таким чином:

Для знаходження компромісних розв’язків за двома або більше критеріями оптимальності особливо практичний інтерес представляє

252

метод послідовних поступок, зміст алгоритму якого полягає в окремих діях. Нехай в якості критерію оптимальності вибрано K

На першому етапі знаходиться розв’язок за найбільш важливим

систему обмежень задачі доповнюємо додатковою умовою, яка забезпечує досягнення знайденого оптимального значення з деяким

Таким чином, в систему обмежень буде введено другу додаткову умову: Z2 (x)≥ Z2 − Z2 .

Далі знаходимо оптимальне значення відносно третього критерію Z 3 (x) і якщо більше не існує критеріїв, то знайдений

оптимальний розв’язок буде компромісний. У випадку існування інших критеріїв оптимальності процедура повторюється до повного перебору їх з множини існуючих. Якщо k-й критерій оптимальності оцінюється на мінімум, то додаткове обмеження матиме вигляд:

Zk (x)≤ Zk + Zk .

Складність такого методу полягає в знаходженні величини відхилень Zk . Для її знаходження доцільно використати двоїсті

оцінки.

Більш об’єктивно можна оцінити компромісний варіант розв’язку з допомогою методу відносного показника. На першому етапі розв’язується К однокритеріальних задач

при виконанні однієї і тієї ж системи обмежень, наприклад, виду

(9.2)-(9.4).

На другому етапі формується нова задача, в якій до основної системи обмежень додатково включається обмеження виду:

253

Основна система обмежень буде включати в себе 2К додаткових умов виду (9.10). Для отримання компромісного розв’язку далі необхідно знайти розв’язок доповненої задачі, прийнявши за критерій оптимальності min Z .

Отже, розв’язок задачі лінійного програмування за наведеною методикою дає можливість одержати мінімальну верхню границю для відносних відхилень від усіх максимальних значень цільових функцій, одержаних в результаті розв’язку К однокритеріальних задач. Це дозволяє знайти компромісний розв’язок поставленої задачі.

Приклад 9.2. Використовуючи умову прикладу 9.1, необхідно розрахувати компромісний варіант виробничої програми підприємства з врахуванням двох критеріїв: прибутку та валової продукції.

♦Розв’язування.

Розв’яжемо окремо задачу (побудовану в прикладі 9.1) за

254

Нова задача буде складатися з основних десяти обмежень прикладу 9.1 і чотирьох додаткових обмежень.

Розглянемо, насамперед, обмеження стосовно прибутку:

Враховуючи значення Z1 = 21634060 і систему нерівностей

(9.10), одержимо два додаткових обмеження:

Z1 + 21634060Z ≥ 21634060,

Z1 − 21634060Z ≤ 21634060.

Аналогічно отримаємо додаткові обмеження відносно валової продукції (Z2 = 71213340):

Z2 + 71213340Z ≥ 71213340,

Z2 −71213340Z ≤ 71213340.

Отже, ми одержимо таку задачу:

: MIN Z ST

2)2.1x1+3.5x3+4.3x5≤25000,

3)6.2x2+4.1x3+5.0x4≤30000,

4)0.6x1+0.7x2+0.9x5≤50000,

5)0.8x1+0.9x2+1.1x3+1.3x4+0.4x5≤10000,

6)2.1x1+1.8x2+2.3x3+1.5x4+1.2x5≤16000,

7)4x1+3x2+2x3+6x4+4x5≤40000,

8)4.5x1+3.2x2+2.61x3+5.3x4+4.3x5≤45000,

9)x4≥200,

10)x2≤3400,

11)x5≤2800,

12)1200x1+2300x2+3000x3+1600x4+1900x5–Z1=0,

13)9000x1+6400x2+6000x3–4200x4+7200x5–Z2=0,

14)21634.06Z+0.01Z1≥21634.06,

15)-21634.06Z+0.01Z1≤21634.06,

16)71213.34Z+0.01Z2≥71213.34,

17)-71213.34Z+0.01Z2≤71213.34,

END.

255

Використовуючи пакет LINA, отримаємо оптимальний розв’язок задачі (табл. 9.5).

Користуючись даними табл. 9.5, одержимо компромісний варіант виробничої програми підприємства (табл. 9.6).

256

9.3.Модель оптимізації процесу фінансування з урахуванням часового фактора

На відміну від евристичного розподілу фінансових ресурсів, коли для кожного об’єкта та кожного періоду часу задається строго визначена величина, при оптимальному фінансуванні для кожного об’єкта і кожного періоду задаються не конкретні значення, а нижня та верхня граничні умови, тобто інтервали, в яких повинні знаходитися шукані невідомі величини. У цих інтервалах здійснюється фінансування з метою максимізації його ефективного використання, яке визначається з допомогою цільової функції.

Припустимо, що виробнича система складається з n об’єктів, функціонування яких проходить в T часових періодах. Введемо позначення: i – індекс об’єкта фінансування, i =1, n ; t – індекс періоду фінансування, t =1,T ; ai – величина фінансових ресурсів виділених i-му об’єкту; bt – величина фінансових ресурсів потрібних в t-му періоді; А – загальний обсяг виділених фінансових ресурсів; C it – величина кількісної оцінки ефективності розподілу фінансових

ресурсів i-му об’єкту в періоді t; xit – невідома величина, яка визначає оптимальний обсяг фінансування i-го об’єкта в періоді t; αit , βit –

відповідно, нижня та верхня границі фінансування i-го об’єкта в періоді t.

257

Розглянемо можливі варіанти кількісної оцінки величини ефективності розподілу ресурсів.

З допомогою величини Cit можна встановити пріоритет фінансування і–го об’єкта в періоді t. У такому випадку чим важливіше фінансування, тим більше значення Cit. Наприклад, його можна оцінювати в бальній системі в інтервалі від 0 до 10. У цьому випадку знаходиться максимум цільової функції.

Якщо Cit є мірою кількісної оцінки результату фінансування, то цільова функція теж максимізується. Наприклад, Cit позначає величину отриманого прибутку i–м об’єктом від одиниці вкладених коштів у періоді t.

Якщо Cit характеризує витрати, то цільова функція мінімізується.

Враховуючи введені позначення, математична модель оптимального фінансування може бути сформульована таким чином.

Знайти розв’язок {xit ≥0, i =1,n;t =1,T}, який забезпечить

при виконанні наступних умов:

1) за розміром виділених лімітів відповідним об’єктам

t=1

2)за розміром потреби фінансових ресурсів у відповідних періодах

i=1

3)за загальним обсягом фінансування виробничої системи

i=1 t=1

4) за граничними обсягами розподілу фінансових ресурсів

де M i – множина тих об’єктів, а M t – множина тих періодів, для яких

встановлюються відповідні граничні рівні.

У описуваній моделі повинна виконуватися додаткова умова, яка полягає в тому, що потреби у фінансових ресурсах не повинні перевищувати загального обсягу виділених бюджетних коштів:

258

t=1

Проте у практичній діяльності трапляються випадки, коли потреби перевищують наявні фінансові кошти, тобто нерівність (9.16) не виконується, а отже, має місце дефіцит фінансових ресурсів. Нехай для нашої виробничої системи дефіцит фінансових ресурсів складає

Тоді виникає необхідність у залученні додаткових фінансових ресурсів шляхом створення інвестиційних фондів або взяття кредитів. Припустимо, що для забезпечення фінансування в повному обсязі планується взяти m кредитів у відповідних банках обсягом не більше

Qj під Рj % ( j – індекс банку, j =1, m).

Введемо додаткову невідому величину yij , яка означатиме обсяг

взятих кредитів в j-му банку для i-го об’єкта. Приймемо критерієм оптимальності величину отриманого чистого прибутку виробничою системою. Тоді економіко-математична модель матиме вигляд.

Знайти оптимальний розв’язок

{xij ≥ 0, yit ≥ 0;i =1, n; j =1, m;t =1,T}

задачі повного забезпечення фінансовими ресурсами та їх розподілу, який забезпечить максимум чистого прибутку:

при виконанні умов:

1) за повним забезпеченням елементів виробничої системи фінансовими ресурсами

2) за розміром потреби фінансових ресурсів у відповідних періодах

i=1

259

4) за граничними обсягами розподілу фінансових ресурсів

i=1 j=1

Приклад 9.3. Виробниче об’єднання (ВО) складається із п’яти суміжних підприємств. Протягом півріччя для організації виробничих процесів місячна потреба об’єднання у фінансових ресурсах становить відповідно 20, 30, 50, 60, 70 і 80 млн. грн. Величина виділених лімітів для відповідних підприємств становить 30, 60, 40, 50 і 70 млн. грн. Наявний дефіцит фінансових ресурсів можна покрити за рахунок взяття кредитів у трьох банках під відповідні відсотки: 40 %, 50 % і 60 %. Розміри фактичних кредитів не повинні перевищувати 20, 30 та 40 млн. грн. Величини отриманого прибутку i-им підприємством від одиниці вкладених коштів в періоді t у виробничий процес записуються з допомогою матриці [Cit]

(i =1,5, t =1,6 ):

Нижні та верхні обсяги можливого фінансування підприємств протягом півріччя задаються з допомогою матриць [αit] та [βit], відповідно:

Визначити оптимальний варіант фінансування підприємств об’єднання, який забезпечить максимум прибутку ВО.

♦Розв’язування.

Для побудови числової математичної моделі позначимо через xit (i =1,5, t =1,6) – обсяг фінансування i-го підприємства в періоді t.

260