Приклад виконання лабораторної роботи.

Завдання: розв’язати систему рівнянь:

(14)

за правилом Крамера, методом Жордана – Гаусса та методом простої ітерації. Порівняти значення, отримані за формулами Крамера, з результатами функції lsolve(А,В). Обчислити нев’язки в методі Жордана – Гаусса. Отримати розв’язок за методом простої ітерації з точністю .

Виконання:

1. Розв’яжемо систему рівнянь в середовищі програми MathCad, користуючись формулами Крамера. Знайдемо розв’язок цієї ж системи за допомогою вбудованої функції lsolve(А,В). Порівняємо отримані результати.

Зауваження: а) Функція lsolve(А,В) знаходить розв’язок СЛАР (3), записаної у матричному вигляді. Для її використання потрібно попередньо задати матрицю системи А та стовпець вільних членів В.

б) В середовищі Mathcad для заміни, наприклад, першого стовпчика матриці А елементами стовпця вільних членів В використаємо оператор .

Реалізація алгоритму в середовищі MathCad:

2. Розв’яжемо систему рівнянь методом Жордана - Гаусса в середовищі ЕТ Excel. Для цього створимо наступну таблицю:

На нульовому кроці (n=0) заповнимо таблицю даними із системи рівнянь, тобто коефіцієнтами при невідомих а_ij і значеннями вільних членів b_i рівнянь системи.

На наступних кроках виконаємо обчислення за алгоритмом методу Жордана – Гаусса (описаному в теоретичній частині). На першому кроці за розв’язуючий елемент візьмемо найбільший по модулю коефіцієнт a₁₂=6.

В режимі формул розрахунки мають такий вигляд:

Із розрахункової таблиці третього (останнього) кроку випишемо розв’язки нашої системи

Перевіримо точність за допомогою нев’язок, які розраховуватимемо по формулам

Результат має вигляд

Отже, ми отримали розв’язки з нульовою похибкою і вони співпадають з результатами, що були обчислені за формулами Крамера.

3. Знайти розв’язок системи методом простої ітерації з точністю .

а) В системі (14) переставимо перше і друге рівняння місцями. Отримаємо систему, що задовольняє умову (13)

б) Приведемо систему рівнянь до канонічної форми

в) Створимо в середовищі MathCad матрицю системи С та вектор вільних членів D по матричному рівнянню (канонічної форми системи) X=CX+D

г) Обчислимо норму матриці системи за допомогою вбудованої функції norme()

Норма матриці С менше одиниці (). Отже, виконується умова збіжності ітераційного процесу.

д) Задамо початкове наближення

е) Проведемо розрахунки по ітераційним формулам

є) Обчислимо похибку. Наприклад, оцінимо на 9-тій ітерації.

Похибка менше заданої точності.