5. Формула повної імовірності. Формула Байєса

Нехай події (гіпотези) утворюють повну групу подій і при настанні кожної з них, наприкладподіяможе наступити з деякою умовною імовірністюТоді імовірність настання подіїрівна сумі добутку ймовірностей кожної кожної з гіпотез на відповідну умовну імовірність події:

(16.21)

де

Формула (16.21) називається формулою повної імовірності.

Нехай подія може наступити лише за умови появи однієї з несумісних події (гіпотез)які утворюють повну групу подій. Якщо подіявже відбулася, то імовірності гіпотез можуть бути переоцінені заформулою Байєса (формулі ймовірності гіпотез):

(16.22)

де — імовірність кожної з гіпотез після іспиту, в результаті якого відбулася подія;— умовна імовірність подіїпісля настання подіїазнаходиться за формулою повної імовірності (16.21).

48. На склад поступили деталі трьох верстатів. На першому верстаті виготовлено 40 % деталей від їх загальної кількості, на другому — 35 % і на третьому 25 %, причому на першому верстаті було виготовлено 90 % деталей першого ґатунку, на другому — 80 % і на третьому — 70 %. Яка імовірність того, що взята випадково деталь виявиться першого ґатунку?

Введемо наступні позначення: — деталь виготовлена на першому верстаті,— на другому верстаті і— на третьому верстаті; подія— деталь виявилася першого ґатунку. З умови випливає, щоіТаким чином,

49. В першому ящику є 8 білих і 6 чорних куль, а другому — 10 білих і 4 чорних. Випадково обирають ящик і кулю. Відомо, що вийнята куля — чорна. Знайти ймовірність того, що був обраний перший ящик.

Введемо позначення: — був обраний перший ящик;— був обраний другий ящик;— при проведенні двох послідовних іспитів вибору ящика і вибору кулі була обрана чорна куля. ТодіІмовірність видобування чорної кулі після того, як обраний перший ящик, складаєІмовірність видобування чорної куля після того, як обраний другий ящик, дорівнює

За формулою повної імовірності знаходимо ймовірність того, що витягнута куля виявилася чорною:

Шукана ймовірність того, що чорна куля була витягнута з першого ящика, обчислюється за формулою Байєса:

51. В ящику складені деталі: 16 деталей з першої ділянки, 24 — з другої і 20 — з третьої. Імовірність того, що деталь, виготовлена на другій ділянці, відмінної якості, дорівнює 0,6, а для деталей, виготовлених на першій і третій ділянці, імовірності дорівнюють 0,8. Знайдіть імовірність того, що випадково витягнута деталь виявиться відмінної якості.

52. На двох автоматах виробляються однакові деталі, які поступають на спільний конвеєр. Виробнича здатність першого автомату в два рази більша виробничої здатності другого. Перший автомат в середньому виробляє 80 % деталей першого ґатунку, а другий — 90 %. Взята випадково з конвеєра деталь виявилася першого ґатунку. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

53. Є три партії деталей по 30 шт. в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно дорівнюються 30, 25 і 20. З довільно обраної партії випадково добута деталь, що виявилася стандартною. Деталь повертають в партію і другий раз з тієї ж партії випадково беруть деталь, яка також виявляється стандартною. Знайдіть імовірність того, що деталі були видобуті з третьої партії.