3. Теорема додавання ймовірностей

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Імовірність появи однієї або декількох попарно несумісних подій, не важливо якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

(16.12)

(16.13)

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи

(16.14)

Для трьох сумісних подій має місце формула

(16.15)

Подія, протилежна події А (тобто настання події А), позначають Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці:

(16.16)

Імовірність настання події обчислена в припущенні, що подіявже відбулася, називаєтьсяумовною ймовірністю події при умовіі позначаєтьсяабо

Якщо і— незалежні події, то

Події — називаютьсянезалежними у сукупності, імовірність кожної з них не змінюється у зв’язку з настання або ненастанням інших подій окремо або в будь-якій їх комбінації.

38. В ящику в випадковому порядку розкладені 20 деталей, причому п’ять з них стандартні. Робочий бере випадково три деталі. Знайти імовірність того, що хоча б одна з узятих деталей виявиться стандартною (подія ).

І спосіб. Очевидно, що хоча б одна з узятих деталей виявиться стандартною, якщо відбудеться будь-яке з трьох несумісних подій: — одна деталь стандартна, дві нестандартні;— дві деталі стандартні, одна нестандартна і— три деталі стандартні.

Таким чином, подію можна подати у вигляді суми цих трьох подій:За теоремою додавання маємоЗнаходимо ймовірність кожної з цих подій

Додавши знайдені величини, отримаємо

ІІ спосіб. Події (хоча б одна з трьох взятих деталей виявилася стандартною) і(жодна з узятих деталей не виявилася стандартною) є протилежними; томуабо

Імовірність появи події складає

Таким чином, шукана ймовірність є

39. Знайти імовірність того, що випадково взяте двозначне число виявиться кратним або 3, або 5, або тому і іншому одночасно.

Нехай — подія, що полягає в тому, що випадково взяте двозначне число виявиться кратним 3, а— в тому, що воно кратне 5. ЗнайдемоТак якісумісні події, то скористаємося формулою (16.14):

Всього є 90 двозначних чисел: 10, 11, …, 98, 99. З них 30 є кратними 3 (сприяють настанню події ); 18 — кратні 5 (сприяють настанню події) і 6 — кратні одночасно 3 і 5 (сприяють настанню події). Таким чиномтобто

40. В ящику з у випадковому порядку викладені 10 деталей, з яких 4 нестандартні. Контролер взяв випадково 3 деталі. Знайдіть імовірність того, що хоча б одна з чотирьох узятих деталей виявилась стандартною.

41. В урні знаходяться 10 білих, 15 чорних, 20 синіх і 25 червоних куль. Знайдіть імовірність того, що вийнята куля виявиться: 1) білою; 2) чорною або червоною.

42. Знайдіть імовірність того, що випадкового взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або тому і іншому одночасно.

4. Теореми множення ймовірностей

Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Імовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(16.18)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою

(16.19)

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку однієї з них на умовну імовірність другої:

(16.20)

43. В одній урні знаходяться 4 білі і 8 чорних куль, в другій — 3 білі і 9 чорних. З кожної урни вийняли по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

Нехай — поява білої кулі з першої урни, а— поява білої кулі з другої урни. Очевидно, що подіїі— незалежні. ЗнайдемоЗа формулою (16.18) отримаємо

44. В ящику знаходяться 12 деталей, з яких 8 стандартних. Робітник бере випадково одну за другою дві деталі. Знайти імовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними.

Введемо наступні позначення: — перша взята деталь, стандартна;— друга взята деталь стандартна. Імовірність того, що перша деталь стандартна, складаєІмовірність того, що друга взята деталь виявиться стандартною при умові, що була стандартною перша деталь, тобто умовна ймовірність подіїдорівнює

Імовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними, знаходимо за теоремою множення ймовірностей залежних подій:

45. Робітник обслуговує два автомати, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший автомат не потребуватиме уваги робітника, дорівнює 0,8, а для другого автомата ця імовірність дорівнює 0,7. Знайдіть імовірність того, що протягом години жоден з автоматів не потребуватиме уваги робітника.

46. В урні знаходяться 6 куль, з яких 3 білі. Випадково вийняті одна за другою дві кулі. Обчисліть імовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

47. В урні знаходяться 10 білих і 6 чорних куль. Знайдіть імовірність того, що три випадково обрані одна за одною кулі виявляться чорними.