Лекція 12. ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРОМ

1. Лінійні рівняння з параметрами.

2. Квадратні рівняння з параметрами.

3. Графічне розв’язування рівнянь з параметрами.

4. Дослідження та розв’язування системи лінійних рівнянь з двома невідомими та параметром.

Розв’язування задач у математиці досить часто зводиться до розв’язування рівнянь, систем рівнянь, нерівностей, в які крім невідомих входять також деякі інші змінні величини, що мають назву параметрів.

Означення. Рівнянням з параметрами а₁, а₂, …, а_n називаємо рівняння виду:

(1)

де х — шукана невідома.

Значення шуканого невідомого х залежить від значення параметрів.

Значення параметрів при яких виразмає зміст при деяких значенняхх, називають допустимими. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1) називають областю зміни параметрів цього рівняння.

Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв’язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів.

Щоб розв’язати рівняння (1) треба:

1. визначити область допустимих значень параметрів

2. розв’язати рівняння (1) відносно х і подати невідоме х у вигляді функції від параметрів;

3. з’ясувати, при яких допустимих значеннях параметрів значення функції є розв’язками даного рівняння;

4. розглянути рівняння (1) при таких допустимих значеннях параметрів, при яких його не можна розв’язати відносно х і з’ясувати чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв’язки і, якщо має, то які.

Основні види рівнянь з параметрами які зустрічаються на вступних іспитах можна розбити на наступні класи:

1. Лінійні рівняння з параметром.

2. Дробові — раціональні рівняння з параметром.

3. Квадратні рівняння з параметром.

4. Ірраціональні рівняння з параметрами.

До найбільш розповсюджених методів розв’язання рівнянь з параметром відноситься графічний метод.

Про цей вид рівнянь написано достатньо багато літератури, серед яких варто виокремити наступні:

1.

2.

3.

4.

В даному посібнику не має можливості розглянути всю інформацію по задачам з параметрами, тому ми зупинимось на двох видах рівнянь:

1. Лінійне рівняння та системи рівнянь з параметрами;

2. Квадратні рівняння з параметрами.

Серед методів розглянемо застосування графічного метода до розв’язування деяких задач.

1. Лінійні рівняння з параметром

Означення. Рівняння виду (2), дех — невідоме, — параметри, називаютьлінійним рівнянням з параметрами.

Дослідимо рівняння (2).

1. Якщо , то рівняння (2) має єдиний розв’язок:

2. Якщо , то рівняння (2) має безліч розв’язків.

3. Якщо то рівняння не має розв’язків.

 При якому значенні параметра в рівняння має безліч розв’язків?

 Використовуючи схему дослідження лінійного рівняння, маємо:

Розв’язуючи цю систему, дістанемо:

отже,

Відповідь. При система рівнянь має безліч розв’язків.

 При якому значенні параметра в рівняння

не має розв’язку?

 Після перетворення рівняння до виду

Останнє рівняння не має розв’язків якщо

звідки

Відповідь. .

Приклад. При яких значеннях с рівняння має додатні розв’язки?

 Спочатку зводимо рівняння до загального виду. Дістанемо,

або

За умовою задачі томуОтже

Відповідь.

Приклад. Визначити, при яких значеннях параметра а корені рівняння кратні 3.

 Зводячи рівняння до вигляду

дістанемо єдиний розв’язок при

За умовою корені рівняння кратні 3, тобто деЗвідси

Відповідь.

Вправи для самостійної роботи

1. При якому значення параметра в рівняння має безліч розв’язків? (В.).

2. При якому значення параметра з рівняння має безліч розв’язків? (В.)

3. При якому значенні параметра а рівняння не має розв’язку? (В.)

4. Визначити при яких значеннях рівняннямає додатні розв’язки. (В.)

5. При якому значенні параметрів рівнянняне має розв’язку? ()

6. Визначити при яких значеннях параметра а корні рівняння кратні 5. (В.)

7. Розв’язати рівняння

де а — параметр.

(В. якщо то

то

то

то

то

8. При яких значеннях параметра а всі розв’язки рівняння задовольняє нерівність? (В.

9. При яких значеннях параметра а рівняння має не менше чотирьох цілих коренів? (В.

10. При яких значеннях параметра а рівняння

а) не має розв’язків;

б) має кінцеву непорожню множину розв’язків?

2. Квадратні рівняння з параметром

Означення. Рівняння виду де— шукане невідоме,— параметри,називаєтьсяквадратним рівнянням з параметрами.

Корені квадратного рівняння знаходимо за формулою:

, де

1. Якщо то рівняння має 2 дійсні корені.

2. Якщо , то рівняння має єдиний корінь.

3. Якщо , то рівняння не має дійсних коренів.

Для коренів іквадратного рівняння виконуються наступні теореми.

Розглянемо деякі властивості квадратного тричлена. Виділяючи повний квадрат, дістанемо формулу:

із якої маємо, що графік квадратичної функції отримується із графіка функції за допомогою 2-х паралельних переносів — зсуву на вимогувздовж осіох і зсуву на величину вздовж осіоу.

Тому координати визначаються параметром

Оссю симетрії параболи є пряма

Теорема (Вієта). Між коренями іквадратного рівнянняіснують співвідношення:

Зауваження. Дуже часто теорема Вієта провокує учнів на відгадування коренів рівняння (усний розв’язок) замість його розв’язування за формулою коренів квадратного рівняння. Але можна 10 разів усно вірно знаходити корені квадратного рівняння за теоремою, але 11 разу помилитися. Уявіть собі що цей 11 раз відбудеться на іспиті?! Що може бути гіршим помилки при обчисленні в «умі» на письмовому іспиті?

Не дивлячись на попереднє зауваження, теорема Вієта може успішно застосовуватися при розв’язуванні різних задач, зокрема, задач на дослідження знаків коренів квадратичного рівняння. Це міцний інструмент для розв’язування багатьох задач з параметрами для квадратичної функції.

Теорема.Для того щоб корені квадратного рівняння мали однакові знаки, необхідно і достатньо виконання співвідношень:

при цьому обидва корені будуть достатні, якщо додатково виконується умова

і обидва кореня будуть від’ємні, якщо

Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали різні знаки, необхідно і достатньо щоб виконувалися співвідношення

Наведемо також теореми про розташування коренів квадратного рівняння.

Теорема. Нехай числа ікорені квадратного рівняннядеі дані деякі точкиіна осі

Тоді:

1. Обидва корені менше числа , тобто

і

тоді і тільки тоді, коли

або

2. Корені лежать по різні боки від числа тобто

тоді і тільки тоді, коли

або

3. Обидва корені більше числа , тобтоітоді і тільки тоді, коли

або

4. Обидва кореня між точками ітобто

і

тоді і тільки тоді, коли

або

5. Корені рівняння лежать по різні боки відрізка , тобтотоді і тільки тоді

або

Приклад. При яких значеннях а число 2 знаходиться між коренями рівняння ?

 Нехай і— корені квадратного рівняння причомуФормалізуючи умови задачі, дістанемо

Якщо розв’язувати цю систему рівнянь, то будемо мати значні труднощі.

Тому користуємося п. 2 теореми

Відповідь.

Приклад. Знайти кількість цілих значень при яких квадратне рівнянняне має дійсних коренів?

 Рівняння не має дійсних коренів, якщо тобтоабо

З цього проміжку знаходимо цілі 1, 2, 3, …, 15.

Відповідь. 15 цілих значень.

Приклад. При якому значенні параметра в рівняння має єдиний розв’язок?

 Спочатку перетворюємо рівняння до виду

.

Це рівняння має єдиний розв’язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто

,

звідки

Відповідь.

Приклад. Обчислити суму цілих значень параметра а при яких рівняння має два різні дійсні корені.

 Рівняння має два різні дійсні корені якщо

тобто

,

Далі знаходимо суму цілих значень параметра а:

Відповідь.

Приклад. Визначити найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння має два різні розв’язки.

 Введемо заміну (наочно, що) і залишимо рівняння у виді:

Це рівняння має два розв’язки, якщо тобто. Звідци

Корені рівняння . Томуі

Із системи маємо:.

Відповідь.

Приклад. Знайти кількість цілих значень параметра при яких сума розв’язків рівнянняналежить проміжку?

 За теоремою Вієта

Тоді

або

або

Параметр набуває наступних цілих значень: 9, 10, 11, 12, 13.

Відповідь. 5 цілих значень.

Приклад. Розв’язати рівняння

 ОДЗ:

Тоді після зведення до спільного знаменника рівняння набуває вигляду

або на області допустимих значень невідомого та параметра

Знайдемо дискримінант цього рівняння

і його корені:

Враховуючи ОДЗ дістанемо:

при

рівняння має два корені

Якщо

Приклад. Розв’язати рівняння

де — параметр,

 Зробивши заміну перетворимо це рівняння у виглядідебо

Вершина графіка квадратного тричлена

має абсцису тому із умовслідує, щоОтже, припроміжкуможе належати тільки більший корінь вказаного тричлена. Цей факт аналітично описується системою нерівностей

Розв’язуючи цю систему при умові знаходимо, що вона сумісна при

Більший корінь тричлена то розв’язуючи рівняннязнаходимо розв’язокпри іншиха розв’язків немає.

Приклад. Розв’язати рівняння деа — параметр.

 Зробимо заміну , деТоді, а отжеЗвідсиОтже приходимо до системи

Розв’язування системи зводиться до знаходження тих значень параметра а, при яких логічно можливо наступне розв’язування квадратного тричлена

Ці можливі випадки розташування на дійсній осі коренів квадратного тричлена описуються аналітично умовами

І. ІІ.ІІІ.

Тоді І. ІІ.ІІІ.

Враховуючи, що корені тричлена задаються формулою

доходимо висновку, що система має наступні розв’язки:

при

при

при

тому корені початкового рівняння задаються рівностями:

якщо , то

, то

, рівняння розв’язків не має.

ВПРАВИ

1. Знайти всі значення параметра а, при кожного з яких рівняння

має два різні від’ємні корені. (В. ).

2. Знайти всі значення при яких сума коренів рівняннядорівнює сумі квадратів його коренів. (В.)

3. Знайти кількість цілих значень параметра при яких добуток коренів рівнянняналежить проміжку?

4. У рівнянні визначити, при якому відношення коренів цього рівняння дорівнює(В.)

5. При яких значеннях корені рівнянняналежать інтервалу?

6. При яких значеннях корені квадратного рівняннямають різні знаки? (В.

7. Знайти найбільше значення параметра при якому рівнянняне має двох різних дійсних розв’язків. (В.)

8. При якому найменшому цілому значенні параметра корені рівняннязнаходяться по різні боки проміжку? (В.)

9. Розв’язати рівняння:

(В. )

10. Розв’язати рівняння:

Якщо , якщо.

11. При яких значеннях параметра корені рівнянняналежать відрізку?

12. При яких значеннях параметра корені рівнянняневід’ємні? (В.).

13. При яких значеннях параметр рівняннямає хоча б один додатній корінь? (В.)

14. При яких значеннях параметра кореніімногочленазадовольняють нерівностям. (В.)

15. При яких значеннях параметра а обидва корені ірівнянняналежать інтервалу? (В.).

16. При яких значеннях параметра а рівняння не має розв’язків? (В.)

17. Залежно від а розв’язати рівняння

А. (В. якщо, топри інших)

В. . (В. якщо, то, при інших

С. . (В.)

18. При яких значеннях параметра а корені рівняння належать інтервалу? (В.)

19. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння менше 1, а інший більший 2? (В.)

20. При яких цілих значеннях параметра а система рівнянь

має розв’язки? Знайти ці розв’язки. (В. Якщо топри іншихрозв’язків немає.