16.4. Аналітична геометрія

Аналітична геометрія є розділом вищої математики, у якому геометричні образи (точки, лінії, поверхні) вивчаються за допомогою алгебраїчних методів.

Засновником аналітичної геометрії є французький математик і філософ Рене Декарт (1596—1650). Їм був розроблений і вперше застосований метод координат, що дав можливість зв’язати один з одним геометричні й алгебраїчні поняття. Будь-якій лінії (чи поверхні) співставляється її рівняння, а потім властивості лінії (поверхні) вивчаються за допомогою аналітичного дослідження відповідного рівняння.

1. Метод координат

В основі методу координат лежить побудова системи координат. Таких систем існує досить багато. Ми познайомимося з двома з них: із прямокутної (чи декартовой) і полярної системами координат.

Означення 2. Відрізок з граничними точками А і В називається напрямленим, якщо вказано, яка з точок А і В вважається початком, а яка — кінцем відрізка.

Напрямлений відрізок з початком точці А і кінцем в точці В позначимо і будемо вважати, що він напрямлений від початку до кінця.

Довжина напрямленого відрізка позначається так:або

Означення 3. Величиною АВ напрямленого відрізка називається число, рівне, якщо напрямлення відрізка і осі співпадають, і дорівнює —, якщо ці напрями протилежні.

Теорема 1 (основна тотожність). Для будь-яких трьох точок А, В і С на осі величина відрізка АС дорівнює сумі величин відрізка і, тобто

Теорема 2. Які б не були дві точки і, завжди справедлива рівність

2)

Приклад. Дані точки ,,,. Знайти величини відрізків,і.

Розв’язок.На основі формули (2) отримаємо

, ,.

2. Координати на прямій. Числова пряма

Розглянемо будь-яку пряму. Виберемо на ній напрямок (тоді вона стане віссю), деяку точку О (початок координат) і одиницю масштабу для виміру довжин відрізків.

Означення 4. Пряма з обраним напрямком, початком координат і одиницею масштабу називається координатної прямою.

Рис. 5

Нехай М — довільна точка на координатної прямої (рис. 5). Поставимо у відповідність точці М число х, рівне величині ОМ відрізка :х = ОМ. Це буде означати, що точка М лежить на координатній прямій на відстані х одиниць масштабу від початку координат у позитивному напрямку. Число х називається координатою точки М. З означення величини відрізка випливає, що якщо напрямок відрізка ОМ збігається з напрямком осі, то М розташована праворуч О і координата х додатня; якщо ж напрямок відрізка ОМ не збігається з напрямком осі, то М розташована ліворуч О і координата х від»ємна; нарешті якщо точка М збігається з точкою О, то координата х дорівнює нулю.

Той факт, що точка М має координату х, символічно записують у виді М(х).

Таким чином, ми установили відповідність між числами і точками координатної прямої: кожній точці відповідає визначене число — її координата, і кожному числу (при тій же відповідності) — одна визначена точка на координатній прямій; двом різним точкам відповідають два різних числа. Така відповідність у математиці називається взаємно однозначною.

Отже, числа можна зображувати точками координатної прямої, тому множину усіх чисел називають числовою прямою (або числовою віссю), а будь-яке число — точкою цієї прямої.