3. Відстань між двома точка на прямій

Теорема 3. Якщо і— будь-які дві точки і— відстань між ними, то

Приклад 4. Дані точки і. Знайти відстаньміж ними, якщоі.

Розв’язок. Застосовуючи формулу 3 для значень і, отримаємо

.

4. Прямокутна (декартова) система координат на площині

Дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу , що мають загальний початок О і однакову одиницю масштабу (рис. 8), утворюють прямокутну (чи декартову) систему координат на площині.

Рис. 8

Вісь Ох називається віссю абсцис, а вісь Оу — віссю ординат. Точка О перетину осей називається початком координат. Площина, у якій розташовані осі Ох і Оу, називається координатною площиною і позначається Оху.

Нехай М — довільна точка площини. Опустимо з неї перпендикуляри МА і MB відповідно на осі Ох і Оу. Точки перетинання А і В цих перпендикулярів з осями називаються проекціями точки М на осі координат.

Точкам А і В відповідають певні числа х і у — їхні координати на осях Ох і Оу. Прямокутними координатами х і у точки М будемо називати відповідно величини ОА і 0В спрямованих відрізків і:х = ОА, у = ОВ. Число х називається абсцисою точки М, число в — її ординатою.

Той факт, що точка М має координати х і у, символічно позначають так: М(х; у). При цьому першою у дужках вказують абсцису, а другою — ординату. Початок координат має координати (0; 0).

Таким чином, при обраній системі координат кожній точці М площини відповідає пара чисел (х; у) — її прямокутні координати і, обернено, кожній парі чисел (х; у) відповідає, і притому одна, точка М на площині Оху така, що її абсциса дорівнює х, а ордината дорівнює у.

Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок площини і множиною пар чисел, що дає можливість при розв’язанні геометричних задач застосовувати алгебраїчні методи.

Рис. 9

Осі координат розбивають площинe на чотири частини; їх називають чвертями, квадрантами чи координатними кутами і нумерують римськими цифрами I, II, III, IV так, як показано на рис. 9.

На рис. 9 зазначені також знаки координат точок залежно від їх розташування.

Питання для самоперевірки

1. Що вивчає аналітична геометрія? У чому складається метод координат?

2. Що називається віссю?

3. Що називається напрямним відрізком і його величиною?

4. Що називається основною тотожністю? Доведіть її.

5. Що називається координатною прямої?

6. Чому множину чисел називають числовою прямої?

7. Що називається координатою точки на осі?

8. У чому складається взаємно однозначна відповідність між числом і точкою координатної прямої?

9. Чому дорівнює величина напрямного відрізка і відстань між двома точками на числової прямій?

10. Що називається прямокутною системою координат на площині?

11. Що називається координатою точки в прямокутній системі на площині?

12. Які знаки координат точок у різних чвертях прямокутної системи координат?

13. У чому складається взаємно однозначна відповідність між парами чисел (х; у) і точками на площині?

14. Як, знаючи координати точки, побудувати її в обраній прямокутній системі координат?

15. Як, знаючи координати точки, побудувати в обраній системі координат точку, симетричну їй відносно: осі координат; початку координат?