2. Випадкові події, імовірність подій

1. Імовірні події. Вивчення кожного явища в порядку спостереження або здійснення досліду пов’язане з існування деякого комплексу умов (іспитів). Будь-який результат або підсумок іспиту називається подією.

Якщо подія при заданих умовах може відбутися або не відбутися, то вона називається випадковою. В тому випадку, коли подія має обов’язково відбутися, її називають достовірною, а в тому випадку, коли вона свідомо не може відбутися, — неможливою.

Події називаються несумісними, якщо кожного разу можлива поява тільки однієї з них. Події називаються сумісними, якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає появи другої при тому ж іспиті.

Події називають протилежними, якщо в умовах іспитів вони, будучи єдиними їх підсумками, несумісні.

Імовірність події розглядається як міра об’єктивної можливості появи випадкової події.

2. Класичне визначення імовірності. Імовірністю події А називається відношення числа наслідків , що сприяють здійсненню даної подіїА, до числа всіх підсумків (несумісних, єдиних можливих і рівноможливих), тобто

Імовірність будь-якої події не може бути меншою нуля і більше одиниці, тобто Неможливій події відповідає імовірністьа достовірній — імовірність

29. В лотереї з 1000 білетів є 200 виграшних. Виймають випадково один білет. Чому дорівнює імовірність того, що цей білет буде виграшним?

Загальне число різних підсумків є Число підсумків, що сприяють отриманню виграшу, складаєЗгідно з формулою (16.11), отримаємо

30. З урни, в якій знаходяться 5 білих і 3 чорних кулі, виймають один шар. Знайти імовірність того, що куля виявиться чорною.

Позначимо подію, що полягає в появі чорної кулі, через А. Загальне число випадків Число випадківщо сприяє появі подіїА, дорівнює 3. За формулою (16.11) отримаємо

31. З урни, в якій знаходяться 12 білих і 8 чорних куль, виймають випадково дві кулі. Яка імовірність того, що обидві кулі виявляться чорними?

Позначимо подію, що складається з появи двох чорних куль, через А. Загальне число можливих випадків дорівнює число сполучень з 20 елементівпо два:

Число випадків сприяє подіїА, складає

За формулою (16.11) знаходимо імовірність появи двох чорних куль:

32. В партії з 18 деталей знаходяться 4 бракованих. Випадково обирають 5 деталей. Знайти імовірність того, що з цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

Число всіх рівноможливих незалежних підсумків дорівнює число співвідношень з 18 по 5, тобто

Підрахуємо число підсумків що сприяють подіїА. Серед 5 взятих випадково деталей май бути 3 якісних і 2 бракованих. Число способів вибірки двох бракованих деталей з 4 наявних бракованих дорівнює числу сполучень з 4 по 2:

Будь-яка група якісних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому спільне число комбінацій являє

Шукана імовірність події дорівнює відношенню числа підсумківщо сприяють цій події, до числавсіх рівноможливих незалежних підсумків:

33. В ящику з деталями виявилося 300 деталей І ґатунку, 20 деталей ІІ ґатунку і 50 деталей ІІІ ґатунку. Випадково виймають одну з деталей. Чому дорівнює імовірність вийняти деталь І, ІІ або ІІІ ґатунку?

34. В урні знаходяться 20 білих і 15 чорних куль. Випадково виймають одну кулю, яка виявляється білим, і відкладають його. Після цього беруть ще одну кулю. Знайдіть імовірність того, що ця куля також виявиться білою.

35. В урні знаходяться 7 білих і 5 чорних куль. Знайдіть імовірність того, що: 1) випадково вийнята куля виявиться чорною; 2) дві випадково вийняті кулі виявлять чорними.

36. Вважаючи випадіння будь-якої грані гральної кості однаково імовірною, знайдіть імовірність випадіння грані з непарною кількістю балів.

37. В коробці є 30 лотерейних білетів, з яких 26 пусті (без виграшів). Випадково виймають одночасно 4 білета. Знайдіть імовірність того, що 4 білетів два виявлять виграшними.