1. Методика вивчення ірраціональних рівнянь в курсі алгебри 11 класу

У даному пункті роботи розглянемотехнологію роботи на прикладі одного проблемного модуля «Ірраціональні рівняння» (11 клас), всі інші будуються в основному за таким же принципом. Викладання даної теми складається з п'яти етапів (Додаток3 «Опис етапів»):

МОДУЛЬ

ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Інформаційно- пізнавальний блок

операцийно- діяльнісний блок

повторювально- узагальнюючий блок

блок контролю

лекция

практикум

Урок практикум (творча лабораторія)

семінар або конференція

залік

Рис.12.

Ціль модуля:

1. Познайомитися з| новими видами ірраціональних рівнянь.

2. Вчитися складати алгоритми розв’язання ірраціональних рівнянь.

3. Навчитися нестандартним прийомам розв’язання рівнянь.

4. Освоєння даного модуля сприятиме розвитку логічного мислення, умінь працювати самостійно з навчальною літературою.

Розглянемо декілька блоків окремо.

Операційно-діяльнісний блок (проблемний блок, практикум ) – постановка проблеми, на розв’язання якої і направлений проблемний модуль. На етапі освоєння нового навчального матеріалу (повторення, закріплення, тренування) треба:

а) створити навчальну проблемну ситуацію і поставити навчальне завдання;

б) здійснити дане завдання;

в) проконтролювати і оцінити результати навчальної роботи кожного учня.

Методи розв’язання ірраціональних рівнянь розглядають на практикумі, який супроводжується постановкою проблемних питань.

Важливо навчити розв’язувати не тільки рівняння, але і задачі. Ефективне використання навчальних задач при вивченні математики сприяє активізації самостійної пізнавальної діяльності учня. Приведемо приклади завдань, які можна розглянути з учнями, наприклад, на третьому уроці по даній темі.

Завдання. При обчисленні площі рівнобедреного трикутника єгиптяни брали половину добутку основи на бічну сторону.Обчислити у відсотках, якою є похибка , якщо основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4, а бічна сторона – 10.

Розв’язання: По єгипетському способу , де a – основа , b – бічна сторона рівнобедренного трикутника. Позначивши висоту трикутника через h, знайдемо: .

Точніше значення площі виражається за формулою:

,

звідси ,

тобто , похибка небільше 2%.

Використовуючи теорему Піфагора, побудувати прямокутний трикутник із гіпотенузою: а) ; б) .

Розв’язання.

А) Нехай a і b – катети шуканого прямокутного трикутника, а с- його гіпетенуза. За умовою с=, значить с²=13. За теоремою Піфагора c²=a²+b², тобто 13=a²+b^2.

Число 13 можна представити у вигляді суми двох додатніх чисел, які додаються різними способами, можливо і так: 13=4+9=2²+3².

А

С В

В цьому випадку можна вважати , що a=2 b=3.

Побудуємо Δ АВС з катетами АС=2 і СВ=3. його гіпортенуза АВ=с=.

С В

Звичайно, якщо використати те, що 7=3+4, тобто , то побудова буде коротша, так як , отримавши відрізок , можна до нього юобудувати перпендикуляр DT=2, і тоді отримаємо прямокутний трикутник із гіпетенузою .

Одним із важливих видів завдань є вправи. В основному при вивченні даної теми вправи містять рівняння , але характер завдань різний. Застосовуються задачі:

стандартні : розв’язати рівняння методом піднесення обох частин рівняння до квадрату ;

навчаючі: доведіть , що рівняння f(x) = g(x) і (f(x))³ = (g(x))³ рівносильні і розв’язати рівняння : а) ; 

б) ;

пошукові: розв’язати рівняння з параметром :

а) ,   б) , в)        г) ;

проблемні: в ході розв’язування ірраціонального рівняння доводиться підносити обидві частини рівняння до парного степеня. Але в цьому випадку можуть з’явитися посторонні корені, тобто, корені рівняння А(х)=В(х).

Отже, яка причина появи посторонніх коренів?

На наступних уроках учням варто запропонувати рівняння, які розв’язуються нестандартними способами (Додаток 5) , рівняння запропоновані на ДПА, із збірників завдань для поступаючих у ВНЗ.