ВСТУП

В Україні, на сучасному етапі, йде становлення нової системи освіти, орієнтованої на входження в світовий освітній простір. Відбуваються істотні зміни в педагогічній теорії і практиці учбово-виховного процесу. Зміст освіти збагачується новими процесуальними уміннями, розвитком здібностей оперувати інформацією, творчо вирішувати педагогічні проблеми.

Зміни, що відбуваються в нашому суспільстві, пред'являють зовсім інші вимоги не тільки до вчителів, але і до підростаючого покоління, яке в недалекому майбутньому стане активним компонентом держави і ведучої силою в його подальшому розвитку. Відома формула «Яке суспільство – така і школа» думаю, не потребує яких-небудь докладних коментарів, оскільки всі освітні структури будь-якої держави завжди виконували його соціальне замовлення і забезпечували підготовку фахівців необхідного рівня, якості і в необхідній сфері діяльності. Проте у цієї формули є діалектичне продовження: «Яка школа – таке і суспільство». Його можна розуміти таким чином. Школа є могутнім чинником соціалізації індивідуальності людини. Саме у ній впродовж 9 – 11 років навчання формуються значущі цінні орієнтації для подальшого життя, отримується особистий досвід життєдіяльності, апробовуються і удосконалюються види і способи поведінки для досягнення поставлених цілей. Образно кажучи, школа вчить жити. Яку ж особу ми хотіли б бачити після отримання нею атестата зрілості? Звичайно ж, творчу, уміючу бачити і вирішувати життєво і професійно важливі проблеми. Реформування системи освіти насамперед націлене саме на розвиток такої особи, що наголошується у вимогах до системи української освіти, формульованих в Концепції математичної освіти школи. Ці ідеї відбиті і у Національній доктрині розвитку освіти в Україні у ХХІ столітті. Основне завдання освітньої політики - це використання соціально – економічних, педагогічних, матеріально – технічних умов для формування і розвитку особи конкурентоздатної, культурної, соціально – етичної зрілої людини. Аналіз ситуації показує, що система освіти, що склалася протягом десятиліть, поки не в змозі повністю задовольнити запити суспільства і зростаючі потреби людей. Виникає необхідність позначити основну вимогу сучасного педагогічного процесу: підвищення якості навчання і вивчення учбових предметів (у тому числі і математики в середній школі).

Ми вважаємо, що роль вчителя в сучасному педагогічному процесі як і раніше залишається значущою. У своїй професійній діяльності ми ведемо пошук відповідей не тільки на питання "чому учити?", "навіщо учити?", "як учити?", але і на питання "як учити результативно?". Аналізуючи роботи вітчизняних і зарубіжних авторів (К.Ф. Гейдебрандта, В.І. Боголюбова, В.П. Безпалько і ін.) можна зробити висновок про те, що педагогіка в своєму традиційному вигляді поволі трансформується і все більше уваги приділяє сучасним технологіям навчання. Серед окремих педагогічних технологій найбільшою популярністю користуються технології вдосконалення загальнонавчальних умінь, які дозволяють швидко нарощувати швидкість читання, написання і обчислень до оптимальних значень без збитку для якості цих умінь. Однією з таких технологій є технологія, розроблена В.Н. Зайцевим, елементи якої успішно використовуються вчителями ось вже декілька років. Для реалізації будь-якого підходу необхідно зупинитися на підготовці мети педагогічної діяльності. Втрата мети в педагогічному процесі - одна з найпоширеніших причин його неефективності, працювати без мети все одно, що діяти без думки. У вирішенні цієї проблеми нам допомогла технологія В.П. Безпалько, згідно якої діагностичне завдання мети навчання полягає у виборі рівня засвоєння, який співвідноситься з моделлю учня. Названі нами вище технології, проте, мають свої мінуси. А саме, у меншій мірі ефективно розвивається пізнавальна активність учнів. І тут нам на допомогу прийшли особистісно орієнтовані розвивальні педагогічні технології. До цих технологій відносяться, наприклад, такі як: технології колективної співпраці (А.Г.Рівін, В.К.Дяченко); система розвивального навчання Л.В.Занкова; технологія формування евристичної діяльності (В.Н.Введенський); проблемного навчання (М. Фрідман), блочно – модульного навчання (М.А.Чошанов) та інші. Можна зробити висновок, що необхідно здійснювати комплексний підхід до застосування педагогічних технологій, що дозволяють розв’язати суперечності між досвідом, накопиченим педагогічною наукою і недостатнім проникненням цього досвіду в практику освіти. Моделюючи комплекс педтехнологій за принципом сумісності і взаємодоповнюваності, кожен викладач може підвищити якість навчання. При вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей найбільш ефективними є проблемне навчання і засоби блочно-модульної технології.

Таким чином, результатом творчої діяльності стало написання роботи по темі «Ірраціональні рівняння і нерівності та їх вивчення в старшій профільній школі». У цій роботі проведено короткий аналіз сучасного стану даної теми в шкільних підручниках, розроблено методику вивчення даної теми на уроках і заняттях елективного курсу на основі проблемного навчання і блочно-модульної технології. Необхідність розробки даної методики була продиктована певними об'єктивними причинами. Вивченню цієї теми в програмі школи відводиться мінімум годин, що не відповідає об’єму необхідного для засвоєння матеріалу, ірраціональні нерівності ж вивчаються лише в ознайомлювальному порядку. Проте кожен варіант завдань Державної підсумкової атестації містить завдання по даній темі, що складає 5,2% всієї роботи. Також вступні письмові роботи ЗНО у вищі навчальні заклади містять завдання, що вимагають уміння розв’язувати ірраціональні рівняння і нерівності.

Об'єкт – учбово-виховний процес при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей в старшій профільній школі.

Предмет – основні принципи і методологія проблемного навчання, блоково-модульні технології в рамках вивчення теми «Ірраціональні рівняння і нерівності»

Гіпотеза: при вивченні теми «Ірраціональні рівняння і нерівності» якість навчання підвищується, якщо педагог застосовує проблемне навчання і блоково-модульну технологію.

Мета роботи:уточнити методику вивчення ірраціональних рівнянь та нерівностей на уроках, розробити спецкурс за темою для академічного рівня в старшій школі.

У дослідженні вирішувалися наступні завдання:

1. Розробити методику вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей в контексті проблемного навчання засобами блоково-модульної технології.

2. Перевірити експерементально ефективність розробленої методики.

Методи дослідження: аналіз науково-методичної літератури з проблеми дослідження, спостереження, анкетування, моделювання, експеримент, статистична обробка даних.

Розділ 1. Теоретичні основі вивчення ірраціональних рівнянь та нерівностей в старшій школі

1. Історична довідка

Однією із важливих причин появи математичних теорій з'явилося відкриття іррациональності. Термін «раціональне» (число) походить від латиноамериканського слова ratio – відношення, яке є перекладом грецького слова “логос”. На відміну від раціональних чисел, числа, що виражають відношення несумірних величин, були названі ще в старовину ірраціональними, тобто нераціональними (по-грецьки “алогос”). Правда, спочатку терміни “раціональний” і “ірраціональний” відносилися не до чисел, а до сумірних і відповідно не сумірним величинам, які піфагорійці називали вираженими і невираженими, Теодор Киренський же симетричними і асиметричними. У V-VI століттях римські автори Капела і Касіодор перекладали ці терміни на латинь словами rationalis і irrationalis.

Старогрецькі математики класичної епохи користувалися тільки раціональними числами (вірніше цілими, дробами і додатними). У своїх «Початках» Евклід подає вчення про ірраціональності чисто геометрично. Ймовірно, найпершою ірраціональністю, відкритою старогрецькими математиками, було число π. Можна з упевненістю вважати, що початковим пунктом цього відкриття були спроби знайти загальну міру за допомогою алгоритму поперемінного віднімання, відомого зараз як алгоритм Евкліда. Можливо також, що деяку роль зіграло завдання математичної теорії музики: ділення октави, що приводить до пропорції 1:п=п:2. Не останню роль зіграв і характерний для піфагорійської школи загальний інтерес до теоретико-числових проблем.

Багато учених країн Середнього Сходу в своїх працях вживали ірраціональні числа як повноправні об'єкти алгебри. Більш того, коментуючи «Початки» Евкліда і досліджуючи загальну теорію відношення Евдокса, Омар Хайям вже на початку XII ст. теоретично розширює поняття числа до додатного дійсного числа. У тому ж напрямі багато було зроблено найбільшим математиком XIII ст. ат-Туси.

У сучасних навчальних посібниках основа визначення ірраціонального числа спирається на ідеї ал-Каши, Стевіна і Декарта провимірювання відрізків і про необмежене наближення до шуканого числа за допомогою нескінченних десяткових дробів. Проте обгрунтуванням властивостей дійсних чисел і повна теорія їх була розроблена лише в XIXст.

“Джерелом алгебраїчних ірраціональностей є двозначність або багатозначність задачі; бо було б неможливо виразити одним і тим же обчисленням багато значень, що задовольняють одній і тій же задачі, інакше, ніж за допомогою коренів; вони ж хіба лише в окремих випадках можуть бути зведені до раціональностей”. (Лейбніц Г.)

Значення відкриття ірраціональності в математиці важко переоцінити. У математику, мало не вперше, увійшла складна теоретична абстракція, що не має аналога в донауковому загальнолюдському досвіді. Услід за ірраціональністю числа були відкриті багато інших ірраціональності. Так, Теодор Кирени (Vст. до н.е.) встановив ірраціональність квадратного кореня з чисел 3,5,6.,17, які не є повним квадратом, Теетет (410-369 до н.е.) дав одну з перших класифікацій ірраціональностей. З появою ірраціональностей в старогрецькій математиці виникли серйозні труднощі як в теоретико-числовому, так і в геометричному плані.

Розв’яжемо задачу: “Віки трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віків обох молодших братів?”

Метод розв’язання подібних задач був відомий ще в II тисячолітті до н.е. писарям Древнього Єгипту (проте вони не застосовували буквеної символіки).

Ще складніші завдання уміли розв’язувати з початку II тисячоліття до н.е. в Стародавньому Вавілоні. У математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних пластинах, є квадратні і біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і навіть прості кубічні рівняння. При цьому вавілоняни також не використали букв. На подальший розвиток алгебри сильний вплив зробили розглянуті Діофантом завдання, що приводять до складних систем рівнянь алгебри, зокрема до систем, де число рівнянь було менше числа невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише позитивні раціональні розв’язки.

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається до Індії і Китаю, країн Близького Сходу і Середньої Азії. Китайські учені розробили метод послідовного виключення невідомих для розв’язування систем лінійних рівнянь, подали нові методи наближеного розв’язування рівнянь вищих степенів. Індійські математики використовували від’ємні числа і удосконалили буквену символіку. Проте лише в працях учених Близького Сходу і Середньої Азії алгебра сформувалася в самостійну гілку математики, що трактує питання, пов'язані з розв’язуванням рівнянь. У IX ст. узбецький математик і астроном Мухаммед ал-Хорезми написав трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, де дав загальні правила для розв’язування рівнянь першого степеня. Слово «алъ-джебр» (відновлення), від якого нова наука алгебра отримала свою назву, означало перенесення від’ємних членів рівняння з однієї його частини в іншу із зміною знаку. Учені Сходу вивчали і розв’язування кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів. У Західній Европі вивчення алгебри почалося в XIII ст. Одним з визначних математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (бл.1170 – 1228). Його “Книга абака” (1202) – трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно. Першим визначним самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття в XVI ст. формули для розв’язування кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів С. Дель Ферро, Н.Тарталья і Дж. Кардано. Учень останнього – Л. Феррарі розв’язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебриста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел. Завойовували права громадянства від’ємні числа, потім – комплексні, учені почали вільно застосовувати ірраціональні числа.

Особливо далеко було просунуто в XVIII ст. розв’язування систем лінійних рівнянь – для них були отримані формули, що дозволяють виразити розв’язок через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до створення теорії матриць і визначників. В кінці XVIII ст. було доведено, що будь-яке рівняння алгебри з комплексними коефіцієнтами має хоч би один комплексний корінь. Це твердження носить назва основної теореми алгебри.

Протягом двох з половиною сторіч увага алгебраїстів була прикована до завдання про виведення формули для розв’язування загального рівняння 5-ого степеня. Треба було виразити корені цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і витягань коренів (розв’язати рівняння в радикалах). Лише на початку XIX ст. італієць П. Руффіні і норвежець Н. Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує. Ці дослідження були завершені французьким математиком Е. Галуа, методи якого дозволяють для кожного даного рівняння визначити, чи розв’язується воно в радикалах.

На початку XIX ст. були розв’язані основні завдання, що стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з'ясовано питання про розв’язування рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел. Поверхневому спостерігачеві могло здатися, що тепер математики розв’язуватимуть нові і нові класи рівнянь алгебри, доводитимуть нову тотожність алгебри і так далі. Проте розвиток алгебри пішов іншим шляхом: з науки про буквене числення і рівняння вона перетворилася на загальну науку про операції і їх властивості. Наприклад, ірраціональні рівняння і нерівності можна розглянути як над полем комплексних чисел, так і над полем дійсних чисел.