II. Задача Аполлонія

2.1 Способи розв’язання задач

В даний час головним результатом сучасної математики є повне переосмислення її традиційних областей, раніше доведених теорем і вирішених завдань. Тому представляє інтерес розглянути сучасні додатки класичної задачі Аполлонія. Інверсія як потужний інструмент геометрії дозволяє виконати лаконічні вирішення даної задачі [6].

Дотримуючись принципу наочності, ми розглянули сучасні додатки завдання Аполлонія в програмі «Жива геометрія», яка надає для цього всі необхідні засоби: створення точно накреслених креслень, побудова й зміна геометричних об'єктів, плавну зміну положення вихідних об'єктів [3]. Нами були розроблені інструменти користувача, що дозволяють автоматично побудувати образи точок, прямих і кіл при інверсії. Дані інструменти послужили базою для вирішення завдання Аполлонія в програмному середовищі «Жива геометрія».

Аполлоній Пергський є одним з трьох (поряд з Евклідом і Архімедом) великих геометрів античності, що жили в III столітті до н. е.. Серед його численних робіт особливе місце займає вирішення задачі про побудову кола, що стосується трьох заданих кіл [1]. Пізніше її досліджували багато математики, включаючи Леонарда Ейлера.

Оскільки три кола на площині можна розташувати різними способами, деякі з яких ми представили на рис. 1, розглянемо окремі випадки завдання Аполлонія. Наведемо побудова одного з них.

рис.1.

Зобразимо три кола ɤ1, ɤ2, ɤ3, що стосуються один одного (рис.2). Застосуємо інверсію відносно допоміжного кола ω з центром в точці дотику кіл ɤ1 і ɤ3 довільним радіусом (рис.3). Можемо використовувати створені нами інструменти користувача [5], що дозволяють будувати образ кіл перетинають інверсивне коло ω в двох точках, що проходять і не проходять через її центр у програмі «Жива геометрія». Застосування цих інструментів дозволяє позбутися від зайвих ліній, автоматично ладу потрібний образ.

Тоді за властивостями інверсії окружності ɤ1 і ɤ3перейдут в паралельні прямі, коло ɤ2-в коло, що стосується даних прямих (рис.4).

Якщо дано дві паралельні прямі і коло, що стосується кожної прямої, то потрібна побудова кола, яка стосується всіх трьох даних ліній. Рішенням цього завдання будуть 2 кола, представлені на малюнку 5.

Так як умову задачі інваріантно щодо перетворення інверсії, то рішення вихідної задачі можемо отримати, Інвертуємо назад дані елементи (застосуємо інструменти користувача). Рішенням будуть кола з малим і великим радіусом (рис.6).

Сховаємо всі зайві елементи, залишивши видимими дані і шукані кола (рис.7). Задача розв'язана.

Задача Аполлонія

Задача Аполлонія формулюється так: побудувати коло, що стосується трьох даних окружностей.

Відомо, що вирішення цього завдання містилося в творі Аполлонія «Про торканнях», але саме твір було загублено. Надалі завдання Аполлонія породила численні математичні дослідження, до неї зверталися і такі видатні математики, як Л. Ейлер і І. Г. Ламберт.

Висновок

Аналізуючи літературу по темі дослідження [2], ми з'ясували, що на основі даного окремого випадку завдання Аполлонія можлива побудова самоінверсної множини - Аполлонієвої серветки. Множина М називається Аполлонієвою, якщо вона складається з нескінченного числа кіл разом з їх граничними точками. В роботі розглядається поряд з класичним координатний метод рішення задачі, для цього вибрана відповідна система координат, на основі отриманих формул складена програма, що дозволяє побудувати за допомогою рандомізованого алгоритму зображення самоінверсної множини, названою Аполлонієвою серветкою (рис.8).

Рис.8.

Продовженням даного дослідження може бути як вивчення інших видів самоінверсних множин, так і рішення задач методом інверсії.

Список використаних джерел

1. Жижилкін І.Д. Інверсія. / І.Д. Жижилкін  М.: МЦНМО, 2009.  76 с.

2. Мандельброт Б. Фрактальна геометрія природи / Б. Мандельброт. М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - 656 с.

3. Мошнін І.В. Жива Геометрія на уроках математики [Електронний ресурс]. - URL: http://www.art.ioso.ru/vmuza/internet/geometria/per_prym.htm. (Дата відвідування: 9 березня 2011 р.).

4. Понарін Я.П. Елементарна геометрія: У 2 т. - Т.1: Планіметрія, перетворення площини / Я.П. Понарін. М.: МЦНМО, 2008. - 312 с.

5. Пухова Ю.І. Реалізація інверсії в програмі «Жива геометрія» / Курсова робота, математичний факультет, Перм, 2011.

6. Савін А.П. Інверсія і завдання Аполлонія: математичні мініатюри / А.П. Савін.  М.: Дит.літ, 1991.  148 с.