Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Харківський національний педагогічний університет

імені Г.С. Сковороди

кафедра математики

Курсова робота

на тему

Задача Аполлонія

Виконала:

студентка фізико-

математичного факультету

ІІ курсу, групи 2 МФ

Волотка Дар’я Сергіївна

Науковий керівник:

Викл. Антоненко Г.М.

Харків 2012

ЗМІСТ

ВСТУП

І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ІНВЕРСІЇ.

1.1.Означення інверсії.

1.2. Властивості інверсії.

1.3. Побудова образів простих фігур при інверсії.

1.4. Зв’язок інверсії і гомотетії.

ІІ. ЗАДАЧА АПОЛЛОНІЯ ТА СПОСОБИ ЇЇ РОЗВ’ЯЗАННЯ.

2.1. Особливі випадки розв’язання Задачі Аполлонія

2.2. Задача Аполлонія

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

У шкільному курсі планіметрії розглядають два види перетворень площини: руху і перетворення подібності (гомотетії). Як гомотетія, так і рух є лінійними перетвореннями, тобто такими, за яких прямі переходять у прямі. Або, іншими словами, в декартовій системі координат ці перетворення задаються лінійними рівняннями.

Безумовно, клас лінійних перетворень площини набагато ширше і аж ніяк не вичерпується лише рухами і гомотетії. Однак, іноді буває корисно розглянути і нелінійні перетворення. При таких перетвореннях пряма може перейти в якусь криву. Правда, в середній школі на уроках геометрії ми звикли зустрічатися з однією єдиною кривою колом. Не будемо порушувати цю традицію, що йде ще від Евкліда, і розглянемо перетворення площини, при якому деякі прямі переходять в коло.

Об’єктом нашого дослідження є інверсія, а предметом — застосування інверсії для розв’язання задачі Аполлонія.

Метою нашої роботи є розглянути способи розв’язання задачі Аполлонія за допомогою інверсії.

І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ІНВЕРСІЇ.

1.1.

Визначення

Перетворення площини, при якому деякі прямі переходять в коло називається інверсією.

Розглянемо на площині коло ω з центром О і радіусом R і довільну точку А₁, відмінну від центру О. Дамо наступне визначення:Точка А₂ називається симетричною точці А₁ щодо кола ω з центром О і радіусом R, якщо точка А₂ лежить на промені ОА₁ і ОА₁ • ОА₂ = R₂.

З визначення безпосередньо випливає, що :

1. Для кожної точки площини, крім центра О, існує єдина точка, симметрична їй щодо кола ω.

2. Для центру О симетричної точки не існує.

мал.1

3. Якщо точка А₂симетричнаточці А₁ щодо кола ω, то і точка А₁ симетрична точці А₂ щодо кола ω.

4. Кожна точка, що лежить на колі ω, симетрична сама собі.

5. Якщо А1 і А2 – різні симетричні точки, то одна з них лежить всередині кола ω, а інша - зовні.

Тепер можна розглянути відображення площини на себе, яке переводить будь-яку точку, крім центра О, в точку, симетричну їй відносно кола ω. Це перетворення і називається інверсією площини щодо кола ω. Питання про долю центру О залишимо поки відкритим. Будемо розглядати площину з проколотою точкою. На такій «проколотій площині» інверсія повністю і однозначно визначена для всіх точок.

Наочно уявити собі інверсію можна, як результат «вивертання» площини через коло ω. Всі точки кола інверсії залишаються на місці, всі крапки, що знаходилися всередині кола ω, виявляються зовні, всі крапки, що

мал.2

розташовувалися зовні кола, потрапляють всередину. Якщо точки А₁ і А₂ змінюються при цьому місцями, то за визначенням симетричних точок ОА₁ • ОА₂ = R₂, тобто ОА₂ = R₂ / ОА₁. Виходить, чим більше величина ОА₁, тим менше величина ОА₂ і навпаки. Чим ближче точка розташована до центру інверсії, тим далі її образ від цього центру. Якщо присувати точку А₁ все ближче і ближче до центру О, тим самим наближаючи величину ОА₁ до нуля, то величина ОА₂ буде необмежено зростати, і, врешті-решт, точка А₂ «піде в нескінченність».

мал.3

Доречно також пояснити, чому ми називаємо точки А₁ і А₂ «симетричними». Для цього розглянемо точку А₁, таку, що ОА₁ «мало відрізняється» від R, тобто точку, що лежить близько до кола інверсії. Її образ А₂ також лежить недалеко від кола інверсії, але по інший бік. Якщо при цьому зробити радіус R дуже великим (як кажуть, «досить великим»), так що видима частина кола ω стане вельми схожою на пряму (так само, як видима нами частина земної поверхні досить схожа на площину), то точки А₁ і А₂ стануть «вельми схожі» на точки, симетричні відносно цієї «майже прямий». Обмежимося поки цими розпливчастими міркуваннями, а в подальшому сформулюємо і доведемо ряд строгих тверджень, що додають сенс всім словами, взятим у лапки.

Задача 1.

Розглянемо на координатній площині коло ω: x² + y² = R² і точку А₁ (x₁, y₁). Знайдіть координати точки А₂, симетричної точці А₁ щодо кола ω.

Побудова

З визначення симетричних точок слід поки лише, що для будь-якої точки площини (слова «крім центра О» будемо надалі пропускати) однозначно визначена симетрична їй точка. Хотілося б, однак, не просто бути впевненим в її існуванні, але і вміти досить швидко її побудувати циркулем і лінійкою. Найвідоміше побудова випливає з наступного твердження:

Нехай точка А лежить зовні кола ω з центром О, АМ і АN - дотичні до кола ω; прямі ОА і MN перетинаються в точці В. Тоді точки А і В симетричні відносно кола ω.

Доказ цього твердження зовсім не складно.

По-перше, точка В лежить на відрізку ОА, оскільки МВ є висотою прямокутного трикутника ОМА.

По-друге, з подоби прямокутних трикутників ОМА і ОВМ слід пропорція OM / OB = OA / OM, або

мал.4

ОА • ОВ = ОМ₂, що й потрібно було довести.

Тепер можна побудувати точку, симетричну будь-якій точці площини відносно даної кола. Креслення легко відтворюється, як починаючи з кола і точки А зовні неї, так і починаючи з кола і точки В усередині неї. Однак, незважаючи на простоту побудови, воно, мабуть, володіє певним недоліком. Точки А і В названі «симетричними», щодо об'єму, а от сама побудова в якомусь сенсі «не симетрично». Дійсно, якщо точка А лежить зовні кола ω, то для побудови треба спочатку провести дотичну, а потім опустити на пряму ОА перпендикуляр з точки торкання. Якщо ж дана точка лежить усередині кола, то побудова ведеться у зворотному порядку; спочатку - перпендикуляр, потім - дотична. Хотілося б знайти таку побудову, щоб воно «працювало» абсолютно однаковим чином, незалежно від того, як саме розташована вихідна точка, всередині або зовні кола. Це побудова виходить з наступного завдання.

Задача 2.

Нехай К, M, N- довільні точки на колі ω; р– серединний перпендикуляр до відрізка MN. Тоді прямі KM і KN перетинають пряму р в точках А і В, симетричних щодо кола ω.

Вказівка​​:

Як і в попередньому випадку, достатньо знайти на кресленні відповідні подібні трикутники.

Необхідно також довести, що точка О не може лежати між

мал.5

точками А і В.

Використовуючи отриманий результат, проводимо побудову точки, симетричної даній точці А, таким чином:

1. Проведемо пряму ОА і довільну січну, що проходить через точку А, і перетинає коло ω в точках М і К.

2. Опустимо з точки М перпендикуляр на пряму ОА і продовжимо його до перетину з колом в точці N.

3. Пряма KN перетинає ОА в шуканій точці В.

Легко бачити, що, якщо на нашому кресленні просто поміняти місцями літери А і В, а також М і N, то опис побудови взагалі не зміниться. Послідовність дій залишиться тією ж самою, оскільки довільну січну КМ можна провести, як з внутрішньої точки кола, так і з зовнішньої, а для побудови байдуже лежить вихідна точка А на відрізку КМ або на його продовженні.

мал.6

Зауважимо також, що перший спосіб побудови є виродженим випадком другого, при якому точки М і К зливаються, а січна перетворюється на дотичну. Якщо спробувати акуратно провести всі побудови циркулем і лінійкою, то переваги другого способу стають очевидними. Дійсно, відрізок MN можна замінити підходящою дугою кола з центром, лежачим на прямій ОА. Тоді для побудови треба провести всього три прямі і одне коло. Порівняння явно не на користь першого способу, де по ходу побудови треба проводити перпендикуляри або ділити відрізок навпіл, що вимагає проведення додаткових прямих і кіл.