1.4 Зв'язок іверсії і гомотетії

Серединна окружність

Розглянемо ще раз креслення до теореми (2). Нехай пряма А₁А₂, перетинає другий раз коло α₂ в точці М. Ланцюжок рівностей кутів з доведення теореми (2) можна продовжити <А₁С₁В₁ = < С₂А₂О = <С₂В₂М. Звідси випливає, що прямі А₁С₁ і МВ₂ паралельні. А це означає, що точка О є центром гомотетії кіл α₁ і α₂. Таким чином можна сформулювати ще одне твердження, широко застосовне при вирішенні завдань.

Якщо при інверсії з центром О кола α₁ переходить в коло α₂, то центр інверсії є також центром гомотетії.

мал. 11

Хотілося б так само просто сформулювати і зворотне твердження, що центр гомотетії двох кіл є центром підходящої інверсії, що переводить ці кола один в одного, проте це не зовсім так. Справа в тому, що два кола мають, взагалі кажучи, два центри гомотетії. Коефіцієнт однієї гомотетії позитивний, а інший - негативний. При цьому для одного з центрів гомотетій підходяща інверсія обов'язково існує, а для іншого іноді існує, а іноді ні. Розберемося в цій ситуації докладніше.

Теорема 3

Нехай точка О - центр гомотетій кіл α₁ і α₂; точці А₁ кола α₁ відповідає при цій гомотетії точка А₂ кола α₂. Пряма А₁А₂ вдруге перетинає кола в точках В₁ і В₂ відповідно. Тоді добуток ОА1 • ОВ₂ постійний і не залежить від вибору точки А₁.

мал. 12

Для доказу виберемо на колі α1 довільну точку С1, побудуємо гомотетичну їй точку С2, і розглянемо точки D1 і D2, в яких пряма С1С2 вдруге перетинає кола. Покажемо, що ОА1 • ОВ2 = ОD1 • ОC2.

Чотирикутники А1В1С1D1 і А2В2С2D2 гомотетичні, і значить <D1 = <D2, крім того <D2 = <А1В2С2, так як А2В2С2D2 - вписаний чотирикутник. Отже, точки А1 В2 С2 D1 лежать на одному колі, і значить ОА1 • ОВ2 = ОD1 • ОC2, що й потрібно було довести. Якщо позначити R2 = ОА1 • ОВ2 = ОD1 • ОC2, то на кресленні, використаному для доказу, R - це довжина дотичної, проведеної до допоміжного кола з точки О. Проводячи коло ω радіуса R з центром О, отримуємо коло інверсії, що переводить коло α1 в α2. Її називають серединним колом для α1 і α2.

Але якщо спробувати виконати ту ж саму побудову для внутрішнього центру гомотетичних кіл α₁ і α₂ на тому ж самому кресленні, то можна бачити, що хоча теорема (3) залишається вірною, коло інверсії, тим не менш, побудувати не вдається, так як мал.13

точка О лежить всередині допоміжного кола і, значить, дотичну провести не можна.

Якщо ж провести ці побудови для випадку, коли одне коло лежить усередині іншого, то виявляється, що для центру гомотетій з негативним коефіцієнтом можна побудувати серединне коло, а для іншого не можна. Фактично, все визначає ту обставину, чи лежить точка В₂ на промені ОА₁.

Найкраща ситуація для пересічних кіл. Для них можна побудувати два різних серединних кола. Їх центрами є обидва центри гомотетій.

На кресленні можна бачити всі три випадки.

мал. 14

Можна сформулювати теорему.

Теорема 4

Для двох непересічних або дотичних кіл існує одне серединне коло, а для пересічних кіл існують два різних серединних кола. Центром серединного кола завжди є один з центрів гомотетій двох вихідних кіл.

Задача 5

Два кола радіусів R і r торкаються один одного. Знайдіть радіус його серединного кола. (розглянемо два різних випадки)

Кругова площина

Формулювання теореми (4), на жаль, не є цілком коректною. Неприємність виникає при спробі застосувати її до двох рівних кіл. Дійсно, для двох непересічних або дотичних кіл, які не лежать один усередині іншого, центром серединного кола служить зовнішній центр гомотетії. Але для двох рівних кіл зовнішній центр гомотетії не існує. Виходить, що до формулювання теореми треба додати ще кілька рядків, що описують цей окремий випадок. Однак, краще вчинити зовсім іншим чином.

Спробуємо розглянути два «майже рівних» кола. Зовнішній центр гомотетії лежить десь «дуже далеко», а радіус серединного кола досить великий у порівнянні з вихідними колами. Якщо радіуси вихідних кіл будуть відрізнятися все менше і менше, то радіус серединного кола буде ставати все більше і більше, а сама серединне коло буде «випрямлятися», стаючи все більше схожим на пряму. Ця гранична пряма є, звичайно ж, віссю симетрії двох рівних кіл.

Тобто, напрошується приблизно таке формулювання: серединне коло двох рівних кіл є їх вісь симетрії. Звучить досить абсурдно: «коло є пряма». Але, з іншого боку, образом кола при інверсії може служити і пряма, і коло. І значить, кола та прямі «з точки зору інверсії» цілком взаємозамінні.

Таким чином, треба не виправляти формулювання теореми, а розширити визначення кіл, так щоб воно включало в себе пряму, як окремий випадок. Щось на кшталт: «пряма - це коло нескінченного радіуса». Але, для того щоб це визначення було логічно коректним, доведеться замість евклідової площини розглянути іншу конструкцію, яка отримала назву «кругова площина».

Для цього приєднаємо до площини одну «нескінченно віддалену точку». Поки що проробимо це, як абсолютно формальну процедуру. Просто домовимося, що тепер крім звичайних точок на площині є ще одна невидима «нескінченно віддалена точка», що володіє лише однією властивістю: нескінченно віддалена точка при будь-якій інверсії є образом центру інверсії.

Будемо тепер вважати, що пряма - це коло, що проходить через нескінченно віддалену точку. Надалі будемо вживати слово «коло» замість слів «коло або пряма», вважаючи пряму окремим випадком кола. Теорема (1) стає при цьому окремим випадком теореми (2). Коло, що проходить через центр інверсії, переходить в коло, що проходить через нескінченно віддалену точку. Замість теорем (1) і (2) отримуємо теорему (1 - 2).

Теорема 1 – 2

Коло при інверсії переходить в коло.

Ясно, також, що «інверсією відносно прямої» можна вважати осьову симетрію. Надалі це буде строго доведено.

На круговій площині інверсія є взаємно однозначним перетворенням. Кожна точка, без винятку, має образ, і кожна точка служить образом деякої точки.

Будь-які два кола можуть бути віднесені до одного з трьох типів: пересічні, непересічні, що стосуються. При цьому паралельні прямі - це кола, що дотикаються в нескінченно віддаленій точці. Оскільки інверсія є взаємно однозначним перетворенням, то пара кіл при інверсії переходить в пару кіл того ж типу.

Задача 5

Доведіть, що через дві дані точки можна провести не більше двох кіл, що стосуються даного кола.

Конформність

Отже, при інверсії кола переходять в кола. Визначимо кут між пересічними колами, як кут між дотичними в точці їх перетину. Кола, звичайно ж, перетинаються у двох точках, і кути в цих точках мають одну і ту ж величину. Скористаємося цим для доказу того, що кути при інверсії зберігаються. Це властивість інверсії називають конформність.

Теорема5

Інверсія зберігає кут між пересічними колами.

Розглянемо спочатку дві пересічні прямі а і b, які при інверсії переходять в пересічні кола α і β. Точка перетину Р переходить в точку Р ', а другий раз кола α і β перетинаються в центрі інверсії О.

Залишається зауважити, що з доведення теореми (1) випливає, що

мал.15

дотичні до кіл α і β в точці О паралельні прямим а і b. Звідси випливає, що кут між прямими а і b дорівнює куту між дотичними в точці О і дорівнює куту між їх образами α і β, так як кут між цими колами в точці О дорівнює куту в точці Р '.

Якщо розглянути тепер два кола, пересічні в точці Р і провести до них в цій точці дотичні а й b, то образи цих кіл перетинаються в точці Р ' і стосуються в ній відповідно кіл α і β. Значить кут між образами цих кіл дорівнює куту між α і β, який в свою чергу дорівнює куту між дотичними а й b, тобто куту між вихідними колами.

Тепер зрозуміло, чому пересічні кола мають рівно дві серединні кола. Вони ділять навпіл кути між вихідними колами.

Задача 6

Чи можна побудувати три кола, такі, що кожна з них є серединним колом для двох інших?

Ортогональні окружності

За основною лемі будь-які дві пари симетричних точок А₁, А₂ і В₁, В₂ лежать на одному колі. Оскільки при інверсії ця четвірка точок в цілому залишається на місці, то коло α, що проходить через ці точки, також залишається на місці, тобто переходить сама в себе.

ω

При інверсії точки кола ω залишаються нерухомими, а точки на колі α міняються місцями, але в цілому коло α залишається на місці. З попередньої теореми про збереження кутів,

α мал.16

отримуємо, що в точці перетину суміжні кути між колами α і ω рівні між собою. Значить, ці кути - прямі.

Тому, кола α і ω називають ортогональними (тобто перпендикулярними). У силу очевидної симетрії, має місце наступне твердження: якщо коло α переходить в себе при інверсії відносно ω, то коло ω переходить в себе при інверсії відносно α.

Ортогональні кола легко побудувати, користуючись очевидною властивістю: дотичні в точці перетину ортогональних кіл проходять через їх центри.

Корисним доповненням до основної леми є наступна теорема.

Теорема 6

Нехай точки А₁ і А₂ симетричні відносно кола ω. Тоді будь-яке колоα, що проходить через ці точки, ортогональна до кола ω.

Нехай промінь з початком в центрі інверсії О перетинає коло α в точках В₁ і В₂. За відомою теоремою про січні кола ОА₁ • ОА₂ = ОВ₁ • ОВ₂.

За визначенням симетричних точок ОА₁ • ОА₂ = R₂, отже ОВ₁ • ОВ₂

мал.17

= R₂, тобто точки В₁ і В₂ також симетричні відносно кола ω.

Оскільки точки А₁, А₂ і В₁, В₂ при інверсії міняються місцями то коло α, що проходить через ці точки, переходить при інверсії сама в себе. Це й означає, що кола α і ω ортогональні.

Задача 7 мал.18

Побудуйте коло, що проходить через дану точку і ортогональна до двох даних кіл.

Розглянемо тепер коло α і якісь дві ортогональні до нього кола, пересікаються в точках А₁ і А₂. Оскільки при інверсії відносно кола α ортогональні до неї кола залишаються на місці, то при цій інверсії точка А₁ переходить в точку А₂, тобто точки А₁ і А₂ симетричні відносно кола α.

Тепер зробимо інверсію відносно будь-якого іншого кола ω. Коло α перейде в якесь коло β, а два кола, ортогональні до α, перейдуть у два кола, ортогональні до β, так як інверсія зберігає кути.

Звідси випливає, що точки А₁ та А₂, симетричні відносно кола α перейдуть в точки В₁ і В₂, симетричні

мал.19

щодо її образу, кола β.

Остаточно отримуємо, що при інверсії коло і дві симетричні відносно неї точки переходять в коло і дві симетричні точки.

Зауважимо ще, що коло, ортогональне прямій, це коло, центр якого лежить на даній прямій. Значить, якщо коло α при інверсії перейде в пряму а, то образи точок А₁ і А₂ будуть симетричні щодо цієї прямої.

Тепер можна вважати строго доведеним, що осьова симетрія є окремий випадок інверсії.

Наступне завдання встановлює корисна властивість ортогональних кіл.

Задача 8

Нехай ортогональні кола перетинаються в точках М і N; АВ - діаметр однієї з них. Тоді прямі AM, AN, BM, BN перетинають інше коло в кінцях діаметра, перпендикулярного АВ. 

Вказівка​​:

скористайтеся тим, що дотичні до одного з кіл в точках М і N проходять через центр іншого кола.

Неважко також довести і зворотне твердження.

мал.20

­