28. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y).

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан:

1. в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

2. аналитически, например, в виде функции распределения.

Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение меньшее y:

F(x,y) = P(X<x, Y<y).

29. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.

Зная плотность распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти их математическое ожидание и дисперсии:

M(X) = ∫xf₁(x) dx, M(Y) = ∫yf₂(y) dy;

D(X) = ∫[x-M(X)]²f₁(x) dx = ∫x²f₁(x) dx – [M(X)]²;

D(Y) = ∫[y-M(Y)]²f₂(y) dy = ∫y²f₂(y) dy – [M(Y)]².

30. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Степень зависимости случайных величин измеряется с помощью ковариации случайных величин X и Y: cov(X,Y) = M(XY) – M(X)*M(Y)

Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле более пригоден коэффициент корреляции случайных величин Х и Y

ρ(Х,Y) = M(XY) – M(X)*M(Y)/σ_xσ_y

Если коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х и Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны.

Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

Корреляционным моментом μ_1,1 порядка 1+1:

μ_{xy =} М{[X – M(X)] * {Y-M(Y)]}

31. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.

Основная задача математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов.

Генеральной совокупностью называют совокупность результатов всех мысленно возможных наблюдений за какой-либо случайной величиной Х, проводимых в одинаковых условиях. Иными словами, генеральная совокупность представляет собой набор всех возможных значений данной случайной величины.

Выборкой называют результаты ограниченного числа наблюдений за случайной величиной Х. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке как некоторой части генеральной совокупности делать выводы о генеральной совокупности в целом.

Выборку называют репрезентативной, если она адекватно отражает исследуемые свойства генеральной совокупности. Чтобы выборка была репрезентативной, можно организовать ее следующим способом. Из генеральной совокупности случайным образом отбирается элемент, затем он обследуется, после чего возвращается в общую совокупность и может быть отобран и обследован повторно. Такая выборка называется повторной случайной.

Конкретной выборкой называется конкретный набор чисел х₁,х₂,…,х_n, полученный в результате наблюдений за случайной величиной Х, т.е. набор, состоящий из n реализаций случайной величины Х.

Выборочным средним называется:

Х = ∑Х_i/n