22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока. Свойство марковости показательного закона.

24. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид

F(x) = (1/σ√2π) * e^-(x-a)2/^/(2σ2)

Где a – математическое ожидание, σ – среднее квадратичное отклонение Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β),

P(α<X< β) = Ф(β- а/ σ) – Ф(α- а/ σ),

Где Ф(х) = 1/√2π∫е^-х2/2dx – функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительно числа δ,

Р(!X-a! <δ) = 2Ф(δ/σ).

25. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».

26. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева ( без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).

Неравенство Чебышева: Если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) , то для любого ε>0 справедливо равенство

P{|X – M(X) | <=ε} > 1-D(X)/ε²

Под законом больших чисел понимается обобщенное название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Теорема Чебышева: Если дисперсии независимых случайных величин Х₁,Х₂,…,Хn ограничены сверху числом В, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливы неравенство

Р{|∑X_i/n - ∑M(X_i)/n| <=ε}> 1 – B/nε²

и предельное равенство limP{|∑X_i/n - ∑M(X_i)/n| <=ε} = 1

Теорема Бернулли: Если вероятность успеха в каждом n независимых испытаний постоянна и равна p, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливо равенство

limP{|m/n -p|<=ε}=1,

где m – число успехов в серии из n испытаний.

27. Центральная предельная теорема ( без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема: Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n – независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный момент (дисперсию σ²). Положим a_{i =} M(X_i), σ_i² = D(X_i), C_i³ = M|X_i-a_i|³, i=1,2,3,.... Тогда если

То при n→∞ для x(-∞<x< ∞) имеет место стр 157. (5.3.2)

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета Р_n(k) можно пользоваться приближенной формулой

Р_n(k) = (1/√np(1-p)) * φ(u) (k=0,1,2,...),

Где φ(u)=(1/√2π) * e^-u2/2, u=k-np/√np(1-p)

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытание n достаточно велико, то для расчета вероятности Р_n(k_1,k₂) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k₁,k₂), можно пользоваться приближенной формулой

Р_n(k_1,k₂) = Ф₀(u₂) – Ф₀(u₁) (k₁ = 0,1,2,..; k₂>k₁),

где Ф₀(u) = (1/√2π) * ∫е^-z2/2dz, u_1,2 = k_1,2 – np/√np(1-p)