8. Формула Байеса.

Р_А(В_i) = Р(В_i) * Р_Вi(A)/Р(А), где

Р(А) = ∑ Р(Н) * Р(А/Н_i) – формула полной вероятности.

9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача), причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

• Каждое испытание случайно относительно события А .т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;

• Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;

• Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.

Для расчета вероятности Р_n(к) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, применяется формула Бернулли

Р_n(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^n-k (k = 0,1,2,…n).

10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.

Х – случайная величина, которая принимает в каждом опыте одно значение из множества, которое заранее предугадать нельзя.

Случайная величина является числовой функцией (или вектором), определенной на пространстве элементарных событий Ω.

Случайная величина называется дискретной, если множество конечных значений конечно или счетно.

Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, связывающее возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности.

Закон распределения дискретной случайной величины Х определен, если известны все Х_n и вероятности Р_n = Р(Х=Х_n) такие, что Р_{1 +} Р₂ + Р₃ + … = 1. Если составить таблицу, в верхней строке которой поместить значения дискретной случайной величины, а в нижней – соответствующие вероятности, то получим ряд распределения случайной величины. Сумма вероятностей записанных во второй строке должна быть равна 1.

Еще случайную дискретную величину можно задать и многоугольником распределения. Многоугольником дискретной случайной Х величины называется ломаная, соединяющая точки (х_i;p_i), расположенные в порядке возрастания.

11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция

F_X(x) = P(X<x), x € R.

Под (X<x) понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем число х.

Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F_X(x) = F(x).

Свойства:

для любого x € R: 0<= F(x) <=1;

F(-∞) = lim F(x)=0; F(+∞) = lim F(x)=1;

F(x) является неубывающей функцией, т.е.

для любых х₁,х₂ € R, таких, что х_1<х₂: F(x₁) <=F(x₂);

F(x) непрерывна слева, т.е.

для любого x € R: F(x) = F(x-0) = lim F(z).