- •1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
- •2. Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.
- •3. Классическое определение вероятности. Комбинаторика.
- •4. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •5. Теоремы о вероятности суммы событий.
- •6. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.
- •7. Формула полной вероятности.
- •10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.
- •11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.
- •8. Формула Байеса.
- •9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.
- •13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
- •14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
- •15. Геометрический закон распределения.
- •16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
- •17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.
- •18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).
- •19. Начальные и центральные моменты.
- •20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока. Свойство марковости показательного закона.
- •24. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •25. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
- •26. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева ( без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).
- •27. Центральная предельная теорема ( без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •28. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.
- •29. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.
- •30. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.
- •31. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.
- •32. Статистический и интервальный ряды распределения.
- •33. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.
- •34. Распределения χ2, t, f.
- •35. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •36. Точечная оценка математического ожидания и ее свойства.
- •37. Точечная оценка дисперсии, несмещенная оценка дисперсии.
- •38. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •39. Интервальные оценки параметров распределения.
12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х называется взвешенная сумма всех ее значений, где в значении веса выступает вероятность
М(Х) = ∑ Хi Рi
Свойства:
М(С) = С, С =const
М(СХ) = С*М(Х), С = const
М(Х+Y) = М(Х) + М(Y), Х и Y – дискретные случайные величины.
13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
Дисперсия случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания
D(X) = M(X-MX)2 или D(X) = M(X2) – (M(X))2
Свойства:
D(C) = 0
D(CX) = C2D(X)
D(X+Y) = D(X) + D(Y), X и Y – независимые дискретные случайные величины.
Средним квадратичным отклонением Х называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:
σх = +√D(X)
14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
Случайная величина Х называется распределенной по биноминальному закону с параметрами n,p (где n € R, p € [0,1]), если она принимает значения 0, 1, 2,…,n с вероятностями P(X=x) = Cnxpx(1-p)n-x (x = 0,1,2,…,n).
Ряд распределения случайной величины Х имеет следующий вид:
m |
0 |
1 |
2 |
... |
k |
... |
N |
Pn(m) |
qn |
Cn1p2qn-2 |
Cn2p2qn-2 |
|
Cnkpkqn-k |
|
pn |
15. Геометрический закон распределения.
Случайная величина Х называется распределенной по геометрическому закону распределения с параметром р (где р € [0,1]), если она принимает значения 1,2,3,… с вероятностями Р(Х=х) = р(1-р)х-1 (х=1,2,3,…).
Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрической распределение равно М(Х) = 1/р, а ее дисперсия D(Х) = 1-р/р2.
16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.
Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона с параметром λ (где λ >= 0), если она принимает значения 0,1,2… с вероятностями Р(Х=х) = (λх/х!)*е-λ (х=0,1,2,…)
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, совпадает с ее дисперсией и равно параметру λ: М(Х)=D(Х)=λ.
17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.
Случайная величина Х называется непрерывной, если она примет более чем счетное число значений.
fx(x) называется плотностью распределения случайной величины Х. График плотности распределении случайной величины Х называется кривой распределения случайной величины.
Если известно, о какой случайной величине идет речь, индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается f(x) = fx(x).
Свойства плотности распределения:
для всех х € R: f(x)>=0;
∫f(z)dz = 1;
для всех точек х € R, в которых существует производная F’(x).
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет конкретное число значения, равна нулю:
для всех х € R: Р(Х=х) = 0.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по следующим формулам:
для всех с, d € R: таких, что с<d:
Р(с<=X<=d) = P(c<=X<=d) = P(c<=X<=d) = P(c<X<d) = F(d)-F(c) = ∫f(x)dx.