18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).

Математическое ожидание непрерывной случайной величины называется число

М(Х) = ∫хf(x)dx.

Две случайные величины (произвольные, непрерывные или дискретные) Х и Y называются независимыми, если для всех х,y € R

P[(X<x) ∩ (Y<y)] = P (X<x) P(Y<y),

Т.е. если для всех х,y € R события (Х<x) и (Y<y) независимы.

Свойства:

4. М(С) = С, С =const

5. М(СХ) = С*М(Х), С = const

6. М(Х+Y) = М(Х) + М(Y), Х и Y – дискретные случайные величины.

Дисперсия случайной величины:

D(X)=∫(x-M(x)²f(x)dx, D(x)=∫x²f(x)dx-(M(x))²

Свойства:

4. D(C) = 0

5. D(CX) = C²D(X)

6. D(X+Y) = D(X) + D(Y), X и Y – независимые дискретные случайные величины.

19. Начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k: v_k=M(X^k).

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: v₁ = M(x).

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х))^k: μ_{k =} М(Х-М(Х))=0;

В частности, центральный момент первого порядка равен 0:

μ₁ = М(Х-М(Х))=0;

центральный момент второго порядка равен дисперсии:

μ₂ = М(Х – М(Х))² = D(X).

Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:

μ_{2 =} v₂-v₁²,

μ₃ = v₃ – 3v₁v₂ +2v₁³,

μ₄=v₄-4v₁v₃+6v₁²v₂-3v₁⁴.

20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Например минутная стрелка остановившихся механических часов будет показывать какое-то значение; заранее, до поломки, неизвестно, какое именно, но точно известно, что оно будет в пределах от 0 до 60. Погрешность округления также относится к подобным величинам. О таких величинах говорят, что они распределены по равномерному закону на некотором отрезке [a,b].

Более строго, случайная величина Х с функцией распределения

Называется распределенной по равномерному закону на отрезке [a,b]. Плотность распределения получается путем дифференцирования:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

М(Х) = ∫xf(x) dx

Где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.

Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины Х называют ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.

Медианой М_е(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее значение, которое определяется равенством

Р[X<M_e(X)]=p[X>M_e(X)].

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

D(X) = ∫[x-M(X)]²f(x) dx или D(X) = ∫x²f(x) dx – [M(X)]²

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется

σ(Х) = √D(X)

21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Показательным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

0 при x<0,

f(x) =

λe^-λx при x>=0

где λ – постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона

0 при x<0

F(x) = 1-е^-λх при x>=0

Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону,

P(a<X<b) = e^-λa-e^-λb

Математическое ожидание - М(Х) = 1/μ. Дисперсия - D(X) = 1/μ²