Эквивалентность

Эквивалентность⁶ – это суждение, которое получено из любых двух суждений при помощи логического союза «тогда и только тогда, когда …».

Эквивалентность распадается на две импликации: «если А, то В» и «если В, то А».

Пример. «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным».

Логический союз «тогда и только тогда, когда …» может выражаться с помощью различных языковых средств: «..., если и только если ...», «... в том и только том случае, когда ... ».

Эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда составляющие ее суждения оба истинны или оба ложны.

Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее суждений истинно, а другое ложно.

Обозначим эквивалентность символом «↔».

С использованием введенной логической символики связь эквивалентности и импликации можно представить так:

«А ↔ В» означает «(А → В) ˄ (В → А)».

Пример. Суждение «Ромб является квадратом, если и только если все углы ромба прямые» означает «Если ромб есть квадрат, то все углы ромба прямые, и если все углы ромба прямые, то ромб есть квадрат».

Таблица истинности для эквивалентности такова.

А	В	А ↔ В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

В следующей таблице перечислены все шесть логических связок, которые были введены ранее.

Название	Символ	Истолкование
Отрицание	~	«не»
Конъюнкция	˄	«... и ...»
Нестрогая дизъюнкция	v	«... или ...»
Строгая дизъюнкция	V	«либо ..., либо ...»
Импликация	→	«если ..., то ...»
Эквивалентность	↔	«тогда и только тогда, когда …»

Логика высказываний

Логика высказываний является теорией тех логических связей суждений, которые не зависят от структуры простых суждений.

Логика высказываний исходит из следующих двух допущений.

1. Принцип двузначности. Всякое суждение является либо истинным, либо ложным.

2. Истинность или ложность сложного суждения зависит только от истинности или ложности входящих в него простых суждений и характера их связи.

Язык логики высказываний включает:

1) неограниченное множество переменных: А, В, С, ..., представляющих суждения;

2) особые символы для логических связок: ~ – «неверно, что …», ˄ – «и», v – «или», V – «либо …, либо …», → – «если …, то …», ↔ – «если и только если …»;

3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Условимся, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения.

Пример. Если А есть суждение «Сейчас день», В – суждение «Сейчас светло» и С – суждение «Сейчас холодно», то формула:

А → В v С

представляет собой суждение «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно».

Формула:

В ˄ С → А

представляет собой суждение «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день».

Формула:

~ В → ~ А

представляет собой суждение «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день».

Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.

Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных суждений в данную формулу она дает истинное суждение, а при каких ‒ ложное.