1.4 Заключение
В этой части курсовой работы была проведена идентификация обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами с помощью программной среды Excel.
Результаты, полученные решения в среде Excel– А = 0,922, К = 0,975. В итоге можно утверждать, что процесс в объекте описывается идентифицированным обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами А = 1 и К = 1:
Осуществлялась проверка методом трапеций. Полученная проверочная диаграмма (рисунок 1.4) подтверждает правильность решения. При идентификации получаем оценку – R2= 0,9977.
2 Исследование динамики системы
2.1 Постановка задачи
Система состоит из объекта регулирования и регулятора. Схема системы представлена на рис. 2.1.
Математическая модель объекта регулирования (2.1)
,
. (2.1)
Математическая модель регулятора (2.2)
,
,
(2.2)
,
.
Принятые условные обозначения:
– время;
X– внешнее воздействие;
Y– реакция объекта;
Z– регулирующее воздействие;
G– настройка регулятора;
A,B,k1,k2 - коэффициенты отражающие свойства объекта;
C,k3,k4 - коэффициенты отражающие свойства регулятора.
2.2 Запись конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений
Вводится новая переменная:
.
(2.3)
В результате получаем систему уравнений:
(2.4)
,
(2.5)
,
.
(2.6)
2.3 Запись конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений
Используется разностная неявная схема.
(2.7)
После преобразований получим разностные уравнения:
В компактной записи:
(2.8)
где
.
|
Матрица |
|
Вектор правой части | ||
|
F |
Y |
Z |
| |
|
1 |
D5 |
0 |
|
Yi-1 + D5Fi-1 |
|
D2 |
1 |
D4 |
|
D1 Fi-1 + D2 Yi-1 + D3( Xi+ Xi-1) + D4 Zi-1 |
|
D8 |
0 |
1 |
|
D6 Zi-1 + D8 Yi-1 + D9 Gi + D10 Gi-1 |
2.4 Решение в среде Excel
Исходные данные:
|
k1= |
1 |
a0= |
2 |
b0= |
1 |
A= |
1 |
|
k2= |
-1 |
a1= |
-0,04 |
b1= |
0,01 |
B= |
2,5 |
|
k3= |
2 |
a2= |
0,005 |
b2= |
0 |
С= |
0,5 |
|
k4= |
1 |
a3= |
-0,0002 |
Υ0= |
0,5 |
Δτ= |
0,2 |
|
|
|
a4= |
0 |
Ζ0= |
0 |
τ= |
0 |
|
|
|
|
|
F0= |
0,5 |
|
|
Коэффициенты, получены в результате расчета:
|
D1= |
0,6667 |
D6= |
0,7143 |
|
D2= |
-0,1333 |
D7= |
0,8571 |
|
D3= |
0,1333 |
D8= |
-0,2857 |
|
D4= |
-0,1333 |
D9= |
-0,8571 |
|
D5= |
0,2000 |
D10= |
0,2857 |
Таблица 2.1 – Решение системы уравнений (2.8)в среде Excel
|
I |
τ |
X |
G |
Y |
F |
Z |
|
I |
τ |
X |
G |
Y |
F |
Z |
|
0 |
0 |
2 |
1 |
1,5 |
0,5 |
0 |
|
52 |
10 |
1,90 |
1,10 |
1,36 |
0,01 |
0,52 |
Продолжение таблицы 2.1
|
1 |
0,2 |
1,99 |
1,00 |
1,68 |
0,38 |
0,44 |
|
53 |
11 |
1,90 |
1,11 |
1,37 |
0,01 |
0,52 |
|
2 |
0,4 |
1,98 |
1,00 |
1,79 |
0,16 |
0,79 |
|
54 |
11 |
1,90 |
1,11 |
1,37 |
0,01 |
0,52 |
|
3 |
0,6 |
1,98 |
1,01 |
1,80 |
-0,08 |
1,02 |
|
55 |
11 |
1,90 |
1,11 |
1,37 |
0,005 |
0,53 |
|
4 |
0,8 |
1,97 |
1,01 |
1,73 |
-0,29 |
1,12 |
|
56 |
11 |
1,90 |
1,11 |
1,37 |
0,003 |
0,53 |
|
5 |
1 |
1,96 |
1,01 |
1,59 |
-0,40 |
1,09 |
|
57 |
11 |
1,90 |
1,11 |
1,38 |
0,001 |
0,52 |
|
6 |
1,2 |
1,96 |
1,01 |
1,43 |
-0,42 |
0,97 |
|
58 |
12 |
1,90 |
1,12 |
1,38 |
0,000 |
0,52 |
|
7 |
1,4 |
1,95 |
1,01 |
1,27 |
-0,35 |
0,79 |
|
59 |
12 |
1,90 |
1,12 |
1,38 |
0,000 |
0,52 |
|
8 |
1,6 |
1,95 |
1,02 |
1,15 |
-0,23 |
0,61 |
|
60 |
12 |
1,89 |
1,12 |
1,38 |
0,000 |
0,52 |
|
9 |
1,8 |
1,94 |
1,02 |
1,09 |
-0,07 |
0,46 |
|
61 |
12 |
1,89 |
1,12 |
1,38 |
0,000 |
0,51 |
|
10 |
2 |
1,94 |
1,02 |
1,09 |
0,07 |
0,37 |
|
62 |
12 |
1,89 |
1,12 |
1,38 |
0,001 |
0,51 |
|
11 |
2,2 |
1,93 |
1,02 |
1,14 |
0,17 |
0,34 |
|
63 |
13 |
1,89 |
1,13 |
1,38 |
0,002 |
0,51 |
|
12 |
2,4 |
1,93 |
1,02 |
1,22 |
0,22 |
0,38 |
|
64 |
13 |
1,89 |
1,13 |
1,38 |
0,003 |
0,51 |
|
13 |
2,6 |
1,93 |
1,03 |
1,30 |
0,21 |
0,45 |
|
65 |
13 |
1,89 |
1,13 |
1,38 |
0,003 |
0,50 |
|
14 |
2,8 |
1,92 |
1,03 |
1,38 |
0,17 |
0,54 |
|
66 |
13 |
1,88 |
1,13 |
1,38 |
0,003 |
0,50 |
|
15 |
3 |
1,92 |
1,03 |
1,43 |
0,09 |
0,63 |
|
67 |
13 |
1,88 |
1,13 |
1,38 |
0,002 |
0,50 |
|
16 |
3,2 |
1,92 |
1,03 |
1,45 |
0,01 |
0,69 |
|
68 |
14 |
1,88 |
1,14 |
1,38 |
0,002 |
0,50 |
|
17 |
3,4 |
1,91 |
1,03 |
1,44 |
-0,06 |
0,73 |
|
69 |
14 |
1,87 |
1,14 |
1,38 |
0,001 |
0,49 |
|
18 |
3,6 |
1,91 |
1,04 |
1,41 |
-0,10 |
0,72 |
|
70 |
14 |
1,87 |
1,14 |
1,38 |
0,000 |
0,49 |
|
19 |
3,8 |
1,91 |
1,04 |
1,37 |
-0,12 |
0,69 |
|
71 |
14 |
1,87 |
1,14 |
1,38 |
0,000 |
0,49 |
|
20 |
4 |
1,91 |
1,04 |
1,32 |
-0,11 |
0,64 |
|
72 |
14 |
1,86 |
1,14 |
1,38 |
-0,001 |
0,48 |
|
21 |
4,2 |
1,91 |
1,04 |
1,29 |
-0,07 |
0,59 |
|
73 |
15 |
1,86 |
1,15 |
1,38 |
-0,001 |
0,48 |
|
22 |
4,4 |
1,90 |
1,04 |
1,27 |
-0,03 |
0,54 |
|
74 |
15 |
1,85 |
1,15 |
1,38 |
-0,001 |
0,48 |
|
23 |
4,6 |
1,90 |
1,05 |
1,26 |
0,01 |
0,51 |
|
75 |
15 |
1,85 |
1,15 |
1,38 |
-0,001 |
0,47 |
|
24 |
4,8 |
1,90 |
1,05 |
1,27 |
0,04 |
0,49 |
|
76 |
15 |
1,84 |
1,15 |
1,38 |
-0,001 |
0,47 |
|
25 |
5 |
1,90 |
1,05 |
1,29 |
0,06 |
0,50 |
|
77 |
15 |
1,84 |
1,15 |
1,38 |
-0,001 |
0,46 |
|
26 |
5,2 |
1,90 |
1,05 |
1,32 |
0,06 |
0,51 |
|
78 |
16 |
1,83 |
1,16 |
1,38 |
-0,001 |
0,46 |
|
27 |
5,4 |
1,90 |
1,05 |
1,34 |
0,06 |
0,54 |
|
79 |
16 |
1,83 |
1,16 |
1,38 |
-0,002 |
0,45 |
|
28 |
5,6 |
1,90 |
1,06 |
1,36 |
0,04 |
0,56 |
|
80 |
16 |
1,82 |
1,16 |
1,38 |
-0,002 |
0,45 |
|
29 |
5,8 |
1,90 |
1,06 |
1,37 |
0,01 |
0,58 |
|
81 |
16 |
1,81 |
1,16 |
1,38 |
-0,002 |
0,44 |
|
30 |
6 |
1,90 |
1,06 |
1,37 |
-0,01 |
0,59 |
|
82 |
16 |
1,81 |
1,16 |
1,38 |
-0,003 |
0,44 |
|
31 |
6,2 |
1,90 |
1,06 |
1,37 |
-0,02 |
0,59 |
|
83 |
17 |
1,80 |
1,17 |
1,38 |
-0,003 |
0,43 |
|
32 |
6,4 |
1,90 |
1,06 |
1,35 |
-0,03 |
0,59 |
|
84 |
17 |
1,79 |
1,17 |
1,37 |
-0,004 |
0,42 |
|
33 |
6,6 |
1,90 |
1,07 |
1,34 |
-0,03 |
0,57 |
|
85 |
17 |
1,78 |
1,17 |
1,37 |
-0,004 |
0,42 |
|
34 |
6,8 |
1,90 |
1,07 |
1,33 |
-0,02 |
0,56 |
|
86 |
17 |
1,77 |
1,17 |
1,37 |
-0,005 |
0,41 |
|
35 |
7 |
1,90 |
1,07 |
1,33 |
-0,01 |
0,54 |
|
87 |
17 |
1,76 |
1,17 |
1,37 |
-0,005 |
0,40 |
|
36 |
7,2 |
1,90 |
1,07 |
1,33 |
0,00 |
0,53 |
|
88 |
18 |
1,75 |
1,18 |
1,37 |
-0,01 |
0,40 |
|
37 |
7,4 |
1,90 |
1,07 |
1,33 |
0,01 |
0,53 |
|
89 |
18 |
1,74 |
1,18 |
1,36 |
-0,01 |
0,39 |
|
38 |
7,6 |
1,90 |
1,08 |
1,33 |
0,02 |
0,52 |
|
90 |
18 |
1,73 |
1,18 |
1,36 |
-0,01 |
0,38 |
|
39 |
7,8 |
1,90 |
1,08 |
1,34 |
0,02 |
0,53 |
|
91 |
18 |
1,72 |
1,18 |
1,36 |
-0,01 |
0,37 |
|
40 |
8 |
1,90 |
1,08 |
1,35 |
0,02 |
0,53 |
|
92 |
18 |
1,71 |
1,18 |
1,36 |
-0,01 |
0,36 |
|
41 |
8,2 |
1,90 |
1,08 |
1,36 |
0,01 |
0,54 |
|
93 |
19 |
1,70 |
1,19 |
1,35 |
-0,01 |
0,35 |
|
42 |
8,4 |
1,90 |
1,08 |
1,36 |
0,01 |
0,55 |
|
94 |
19 |
1,69 |
1,19 |
1,35 |
-0,01 |
0,35 |
|
43 |
8,6 |
1,90 |
1,09 |
1,36 |
0,00 |
0,55 |
|
95 |
19 |
1,67 |
1,19 |
1,35 |
-0,01 |
0,34 |
Продолжение таблицы 2.1
|
44 |
8,8 |
1,90 |
1,09 |
1,36 |
0,00 |
0,55 |
|
96 |
19 |
1,66 |
1,19 |
1,35 |
-0,01 |
0,33 |
|
45 |
9 |
1,90 |
1,09 |
1,36 |
-0,01 |
0,55 |
|
97 |
19 |
1,65 |
1,19 |
1,34 |
-0,01 |
0,32 |
|
46 |
9,2 |
1,90 |
1,09 |
1,36 |
-0,01 |
0,54 |
|
98 |
20 |
1,63 |
1,20 |
1,34 |
-0,01 |
0,31 |
|
47 |
9,4 |
1,90 |
1,09 |
1,36 |
0,00 |
0,54 |
|
99 |
20 |
1,62 |
1,20 |
1,33 |
-0,01 |
0,29 |
|
48 |
9,6 |
1,90 |
1,10 |
1,36 |
0,00 |
0,53 |
|
100 |
20 |
1,60 |
1,20 |
1,33 |
-0,01 |
0,28 |
|
49 |
9,8 |
1,90 |
1,10 |
1,36 |
0,00 |
0,53 |
|
101 |
20 |
1,58 |
1,20 |
1,33 |
-0,01 |
0,27 |
|
50 |
10 |
1,90 |
1,10 |
1,36 |
0,01 |
0,53 |
|
102 |
20 |
1,57 |
1,20 |
1,32 |
-0,01 |
0,26 |
|
51 |
10,2 |
1,90 |
1,10 |
1,36 |
0,01 |
0,52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.2 – результат решения в среде Excel
